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Use a transformada de Laplace para calcular o valor da integral imprópria integral0^infty t e^-2 t cos 3 t d t.

Passo 1

Queremos calcular a integral imprópria integral0^infty t e^-2tcos(3t),dt usando a transformada de Laplace. O conteúdo envolve propriedades da transformada de Laplace, em particular a derivada em relação a s e a transformada de cos(3t).

Passo 2

Pela definição de transformada de Laplace, temos
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
Observamos que a integral dada é
integral0^inftye^-2tl(tcos(3t)r),dt=Ltcos(3t)(2)

Passo 3

Aplicamos a propriedade de derivação da transformada:
Lt f(t)(s)=-ddsl[Lf(t)(s)r]

Passo 4

Calculamos primeiro a transformada de cos(3t):
Lcos(3t)(s)=ss^2+9

Passo 5

Agora usamos a propriedade em f(t)=cos(3t):
Ltcos(3t)(s)=-ddsl(ss^2+9r) =s^2-9(s^2+9)^2

Passo 6

Basta avaliar em s=2:
Ltcos(3t)(2)=2^2-9(2^2+9)^2=-5169

Resposta

-5/169

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