148 Prove que se A for uma matriz quadrada, então A e A^{t} têm os mesmos autovalores. Seja A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 3 \\\\ 3 & 1 & 3 \\\\ -3 & -3 & -5\end{array}\right]. Determinar o polinômio característico e o polinômio minimal de A.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro provar que, para qualquer matriz quadrada A, as matrizes A e A^{t} têm os mesmos autovalores; depois, para
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3\\\\ 3 & 1 & 3\\\\ -3 & -3 & -5 \end{pmatrix},
determinar (a) o polinômio característico e (b) o polinômio minimal de A.
Para isso vamos usar propriedades de determinante para a parte teórica, e eliminação de Gauss + fatoração de polinômios para a parte prática.

Passo 2

Prova de que A e A^{t} têm os mesmos autovalores.
Um autovalor de A é raiz do polinômio característico
p_A(\lambda)=\det(\lambda I - A).
Mas
\det(\lambda I - A)=\det\bigl((\lambda I - A)^{t}\bigr) =\det\bigl(\lambda I - A^{t}\bigr) =p_{A^{t}}(\lambda).
Logo p_A(\lambda)=p_{A^{t}}(\lambda), o que implica que A e A^{t} têm o mesmo conjunto de autovalores (com multiplicidades algébricas iguais).

Passo 3

Cálculo do polinômio característico de
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3\\\\ 3 & 1 & 3\\\\ -3 & -3 & -5 \end{pmatrix}.
Começamos por
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 3 & 3\\\\ 3 & 1-\lambda & 3\\\\ -3 & -3 & -5-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
\begin{aligned} \det(A-\lambda I) &=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda&3\\\ -3&-5-\lambda\end{pmatrix} -3\det\begin{pmatrix}3&3\\\ -3&-5-\lambda\end{pmatrix} +3\det\begin{pmatrix}3&1-\lambda\\\ -3&-3\end{pmatrix}. \end{aligned}
Calcula-se cada menor:
\det\begin{pmatrix}1-\lambda&3\\\ -3&-5-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(-5-\lambda)-3(-3)=\lambda^{2}+4\lambda+4=(\lambda+2)^{2},
\det\begin{pmatrix}3&3\\\ -3&-5-\lambda\end{pmatrix} =3(-5-\lambda)-3(-3)=-3(\lambda+2), \quad \det\begin{pmatrix}3&1-\lambda\\\ -3&-3\end{pmatrix} =-3(\lambda+2).
Substituindo e vendo que os termos com \lambda+2 se cancelam exceto no primeiro, obtém-se
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\,(\lambda+2)^{2}.
Como o polinômio característico p_A(\lambda)=\det(\lambda I - A)=(-1)^{3}\det(A-\lambda I), temos
p_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+2)^{2}.

Passo 4

Determinação do polinômio minimal m_A(\lambda).
Sabemos que m_A divide p_A e tem os mesmos fatores lineares (\lambda-1) e (\lambda+2) com expoentes \le multiplicidade algébrica.
Para ver se (\lambda+2) entra ao quadrado ou apenas simples, analisamos a dimensã o do espaço próprio de \lambda=-2, isto é, \ker(A+2I).
A+2I =\begin{pmatrix} 3&3&3\\\ 3&3&3\\\ -3&-3&-3 \end{pmatrix}
tem posto 1 (todas as linhas são múltiplas), logo \dim\ker(A+2I)=3-1=2.
Isso mostra que a multiplicidade geométrica de -2 é 2, igual à algébrica, e, portanto, não há bloco de Jordan de ordem maior que 1 para -2.
Concluímos que em m_A(\lambda) cada fator aparece apenas com expoente 1, isto é,
m_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+2).

Resposta

O polinômio característico de A é
p_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+2)^{2},
e o polinômio minimal de A é
m_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+2).

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