Para cada uma das transformações lineares abaixo
  • Encontre uma base e a dimensão para o núcleo;
  • Encontre uma base e dimensão para a imegem;
  • Verifique se é injetiva, sobrejetiva e/ou bijetiva.
    T: \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) definida por T(p)=p^{\prime}, onde p^{\prime} é a derivada de p.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \to \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}),\quad T\bigl(p(x)\bigr)=p'(x),
ou seja, T leva cada polinômio de grau <=2 à sua derivada. Vamos usar conceitos de núcleo (ker), imagem (im), dimensão e o critério de injetividade e sobrejetividade de transformações lineares.

Passo 2

Para encontrar o núcleo de T, resolvemos
T(p)=0 \iff p'(x)=0.
Um polinômio p(x)=ax^2+bx+c satisfaz p'(x)=2ax+b\equiv 0 se, e somente se, 2a=0 e b=0. Logo a=0, b=0 e p(x)=c é constante. Portanto
\ker(T)=\{\,c\in\mathbb{R}:p(x)=c\}\quad\text{e uma base é }\{1\}.é
Como há apenas o parâmetro c, a dimensão é
\dim\bigl(\ker(T)\bigr)=1.

Passo 3

A imagem de T é o conjunto dos polinômios que são derivadas de algum p\in\mathcal{P}_{2}. Como
p'(x)=2ax+b
é um polinômio genérico de grau <=1, temos
\operatorname{im}(T)=\{\,\alpha x+\beta : \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}=\mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}).
Uma base natural é \{x,1\} e
\dim\bigl(\operatorname{im}(T)\bigr)=2.

Passo 4

Pela teoria do núcleo e imagem (Teorema do posto e nulidade),
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{im} T)=\dim\bigl(\mathcal{P}_2\bigr)=3,
confirmando 1+2=3. Como \ker(T)\neq\{0\}, T não é injetiva.

Passo 5

O codomínio \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 3, mas \operatorname{im}(T) tem dimensão 2. Logo \operatorname{im}(T)\neq\mathcal{P}_{2}, isto é, T não é sobrejetiva.

Resposta

Base e dimensão do núcleo: base \{1\}, \dim=1.
Base e dimensão da imagem: base \{x,1\}, \dim=2.
T não é injetiva, não é sobrejetiva e, portanto, não é bijetiva.

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