Para cada uma das transformações lineares abaixo
- Encontre uma base e a dimensão para o núcleo;
- Encontre uma base e dimensão para a imegem;
- Verifique se é injetiva, sobrejetiva e/ou bijetiva.
definida por
, onde
é a derivada de
.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
ou seja,
leva cada polinômio de grau
à sua derivada. Vamos usar conceitos de núcleo (ker), imagem (im), dimensão e o critério de injetividade e sobrejetividade de transformações lineares.
Passo 2
Para encontrar o núcleo de
, resolvemos
Um polinômio
satisfaz
se, e somente se,
e
. Logo
,
e
é constante. Portanto
Como há apenas o parâmetro
, a dimensão é
Passo 3
A imagem de
é o conjunto dos polinômios que são derivadas de algum
. Como
é um polinômio genérico de grau
, temos
Uma base natural é
e
Passo 4
Pela teoria do núcleo e imagem (Teorema do posto e nulidade),
confirmando
. Como
,
não é injetiva.
Passo 5
O codomínio
tem dimensão
, mas
tem dimensão
. Logo
, isto é,
não é sobrejetiva.
Resposta
Base e dimensão do núcleo: base
,
.
Base e dimensão da imagem: base ,
.
não é injetiva, não é sobrejetiva e, portanto, não é bijetiva.
Base e dimensão da imagem: base