Considere a matriz A=\left[\begin{array}{cc}5 / 4 & -3 / 4 \\\\ -3 / 4 & 5 / 4\end{array}\right]. Existe n \in \mathbb{N} tal que A^{n}=I ? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}\frac{5}{4} & -\frac{3}{4} \\\\ -\frac{3}{4} & \frac{5}{4}\end{pmatrix}
e pergunta se existe n\in\mathbb{N} tal que A^n = I. Vamos usar o fato de que, como A é simétrica, ela é diagonalizável em termos de autovalores, e que as potências de A têm autovalores elevados à potência n.