Considere a matriz A=\left[\begin{array}{cc}5 / 4 & -3 / 4 \\\\ -3 / 4 & 5 / 4\end{array}\right]. Existe n \in \mathbb{N} tal que A^{n}=I ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}\frac{5}{4} & -\frac{3}{4} \\\\ -\frac{3}{4} & \frac{5}{4}\end{pmatrix}
e pergunta se existe n\in\mathbb{N} tal que A^n = I. Vamos usar o fato de que, como A é simétrica, ela é diagonalizável em termos de autovalores, e que as potências de A têm autovalores elevados à potência n.

Passo 2

Calculemos os autovalores de A resolvendo
\det(A - \lambda I) = 0.
Temos
\tr(A) = \tfrac54 + \tfrac54 = \tfrac52, \qquad \det(A) = \frac{5}{4}\cdot\frac{5}{4} - \bigl(-\tfrac{3}{4}\bigr)^2 = \frac{25}{16} - \frac{9}{16} = 1.
Logo o polinômio característico é
\lambda^2 - \Bigl(\tfrac52\Bigr)\lambda + 1 = 0.

Passo 3

Resolvendo
\lambda = \frac{\tfrac52 \pm \sqrt{\bigl(\tfrac52\bigr)^2 - 4\cdot1}}{2} = \frac{\tfrac52 \pm \tfrac32}{2},
obtemos os autovalores
\lambda_1 = 2, \qquad \lambda_2 = \tfrac12.

Passo 4

Como A é diagonalizável, existe P invertível tal que
A = P \begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix} P^{-1}.
Então
A^n = P \begin{pmatrix}2^n & 0\\\ 0 & \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^n\end{pmatrix} P^{-1}.

Passo 5

Para ter A^n = I precisamos que todos os autovalores de A^n sejam iguais a 1, ou seja
2^n = 1 \quad\text{e}\quad \Bigl(\tfrac12\Bigr)^n = 1.
A única solução inteira dessas duas igualdades é n=0. Para n\ge1 temos 2^n>1 e (\tfrac12)^n<1, logo não ocorre A^n=I.

Resposta

Não existe n\in\mathbb{N} com n\ge1 tal que A^n=I.

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