Sejam A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right] matrizes inversíveis.
1.) Calcule A B e B A e observe que estes produtos são diferentes.
2.) Encontre os autovalores de A B e os de B A. O que você observa?

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas invertíveis de ordem 3,
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix},
e pede:
1) calcular AB e BA mostrando que são diferentes;
2) encontrar os autovalores de AB e de BA e comentar o que se observa.

Passo 2

Calculando o produto AB:
AB = A\,B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 4\\\\ 0 & -2 & 3\\\\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculando o produto BA:
BA = B\,A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3\\\\ 0 & -2 & 2\\\\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 4

Observamos que
AB \;=\;\begin{pmatrix}1&7&4\\\ 0&-2&3\\\ 0&0&-3\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad BA \;=\;\begin{pmatrix}1&-1&3\\\ 0&-2&2\\\ 0&0&-3\end{pmatrix}
são diferentes. Ambas são triangulares superiores, então seus autovalores coincidem com as entradas da diagonal principal.

Passo 5

Extraindo as diagonais obtemos, para cada uma:
\text{diag}(AB) = (1,\,-2,\,-3),\qquad \text{diag}(BA) = (1,\,-2,\,-3).
Logo os autovalores de AB são
\lambda_1=1,\;\lambda_2=-2,\;\lambda_3=-3,
e os mesmos valem para BA.

Passo 6

Apesar de AB\neq BA, notamos que
BA \;=\;B\,(AB)\,B^{-1},
ou seja, AB e BA são matrizes similares e, por isso, têm o mesmo polinômio característico e os mesmos autovalores.

Resposta

AB = \begin{pmatrix}1 & 7 & 4 \\[4pt] 0 & -2 & 3 \\[4pt] 0 & 0 & -3\end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix}1 & -1 & 3 \\[4pt] 0 & -2 & 2 \\[4pt] 0 & 0 & -3\end{pmatrix}.
Os autovalores de ambos são
\{\,1,\,-2,\,-3\}.
Observação: mesmo não comutando, AB e BA têm os mesmos autovalores, pois são similares.]

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