Calcule os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares:
T: M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) dado por
T\left(\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ll} a & a+b \\\ c & c+d \end{array}\right]

Passo 1

O espaço vetorial é V = M_{2\times2}(\mathbb{R}), de dimensão 4, com base canônica
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
O operador linear é
T\!\bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\bigr) =\begin{pmatrix}a&\,a+b\c&\,c+d\end{pmatrix}.
Queremos encontrar seus autovalores e autovetores, ou seja resolver T(X)=\lambda X.

Passo 2

Vamos ver como T age em cada base. Para X=aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22} temos
T(X) =\begin{pmatrix}a&a+b\c&c+d\end{pmatrix} =a\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix} +d\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix} + a\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Isto mostra a matriz de T na base (E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}) em coordenadas (a,b,c,d):
M=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\\\ 1&1&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&1&1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Como M é triangular, seu polinômio característico é
\det(M-\lambda I) =(1-\lambda)^4.
Logo há um único autovalor \lambda=1, de multiplicidade algébrica 4.

Passo 4

Agora resolvemos (T-I)(X)=0\). Em coordenadas, \((M-I)(a,b,c,d)^{T}=0\) dá o sistema \[\begin{cases} 0\cdot a+0\cdot b+0\cdot c+0\cdot d=0,\\\\ 1\cdot a+0\cdot b+0\cdot c+0\cdot d=0,\\\\ 0\cdot a+0\cdot b+0\cdot c+0\cdot d=0,\\\\ 0\cdot a+0\cdot b+1\cdot c+0\cdot d=0. \end{cases}
As equações não-triviais são a=0\] e \(c=0; b e d ficam livres.

Passo 5

Portanto os autovetores (não-nulos) satisfazem
X=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} \quad\text{com}\quad a=0,\;c=0,
isto é
X=\begin{pmatrix}0&b\\\ 0&d\end{pmatrix} =b\,E_{12}+d\,E_{22},\quad(b,d)\neq(0,0).
A dimensão do autiespaço é 2.

Resposta

O único autovalor é \lambda=1, de multiplicidade algébrica 4 e multiplicidade geométrica 2.
Os autovetores são todas as matrizes da forma
\begin{pmatrix}0&b\\\ 0&d\end{pmatrix},
com (b,d)\neq(0,0), gerando-se o espaço por E_{12} e E_{22}.

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