15-16 Determine os vetores velocidade e posição de uma partícula, dadas a sua aceleração, velocidade e posição iniciais.
15. a(t)=i+2 j, v(0)=k, r(0)=i
16. a(t)=2 i+6 t j+12 t^2 k, v(0)=i, r(0)=j-k

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os vetores velocidade v(t) e posição r(t) de uma partícula conhecendo sua aceleração a(t) e as condições iniciais v(0) e r(0). O conteúdo usado é integração de funções vetoriais, pois sabemos que a(t)=dvdt e v(t)=drdt.

Passo 2

Para o exercício 15, começamos integrando componente a componente a aceleração a(t)=i+2j. Integrais: integral1,dt=t e integral2,dt=2t. A primitiva geral é
v(t)=ti+2tj+C1

Passo 3

Ainda no 15, aplicamos a condição inicial v(0)=k. Substituindo t=0 em v(t) C1=k. Logo
v(t)=ti+2tj+k

Passo 4

Agora integramos v(t) para achar r(t). Integrais: integral t,dt=tfract^22, integral2t,dt=t^2, integral1,dt=t. A família de primitivas é
r(t)=t^22i+t^2j+tk+C2

Passo 5

Aplicando r(0)=i no resultado acima, obtemos C2=i. Portanto, para o exercício 15:
v(t)=ti+2tj+k,r(t)=l(t^22+1r)i+t^2j+tk

Passo 6

No exercício 16, integramos a aceleração a(t)=2i+6tj+12t^2k. Componentes: integral2,dt=2t, integral6t,dt=3t^2, integral12t^2,dt=4t^3. A primitiva geral é
v(t)=2ti+3t^2j+4t^3k+D1

Passo 7

Aplicamos a condição v(0)=i. Em t=0, vem D1=i. Logo
v(t)=(2t+1)i+3t^2j+4t^3k

Passo 8

Em seguida, integramos v(t) para obter r(t). Integrais: integral(2t+1),dt=t^2+t, integral3t^2,dt=t^3, integral4t^3,dt=t^4. Temos
r(t)=(t^2+t)i+t^3j+t^4k+D2

Passo 9

Por fim, usamos r(0)=j-k, que em t=0 D2=j-k. Assim, para o exercício 16:
v(t)=(2t+1)i+3t^2j+4t^3k,r(t)=(t^2+t)i+(t^3+1)j+(t^4-1)k

Resposta

Para o exercício 15:
v(t)=ti+2tj+k,r(t)=l(t^22+1r)i+t^2j+tk
Para o exercício 16:
v(t)=(2t+1)i+3t^2j+4t^3k,r(t)=(t^2+t)i+(t^3+1)j+(t^4-1)k

Exercícios relacionados