Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
r(t)=e^t(cos t i+sen t j+t k)

Passo 1

O enunciado nos dá a trajetória
r(t)=e^tl(cos t, i+sin t, j+t, kr)
e pede (1) a velocidade v(t)= r'(t), (2) a aceleração a(t)= r''(t) e (3) a velocidade escalar | v(t)|.
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto para derivadas de funções vetoriais e as derivadas básicas de cos t, sin t e t.

Passo 2

Para achar a velocidade, escrevemos
r(t)=e^t, u(t), u(t)=cos t, i+sin t, j+t, k
Pela regra do produto,
v(t)= r'(t) = e^t, u(t) + e^t, u'(t)
Como
u'(t)=-sin t, i+cos t, j+1, k,
segue
v(t) = e^tl(cos t, i+sin t, j+t, kr) +e^tl(-sin t, i+cos t, j+1, kr)
v(t) = e^t(cos t-sin t), i +e^t(sin t+cos t), j +e^t(t+1), k

Passo 3

Para a aceleração aplicamos a mesma ideia à v(t)=e^t, w(t), onde
w(t)=(cos t-sin t), i+(sin t+cos t), j+(t+1), k
Então
a(t)= v'(t) = e^t, w(t) + e^t, w'(t)
Calculando
w'(t)= -!(sin t+cos t), i +(cos t-sin t), j +1, k,
temos
a(t) = e^tl[(cos t-sin t), i+(sin t+cos t), j+(t+1), kr]
+,e^tl[-(sin t+cos t), i+(cos t-sin t), j+1, kr]
a(t) = e^tl(-2sin t, i+2cos t, j+(t+2), kr)

Passo 4

A velocidade escalar é o módulo de v(t). Pelo resultado do passo 2,
| v(t)| = e^traiz(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2+(t+1)^2
Como
(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2 =2(cos^2t+sin^2t)=2,
segue
| v(t)| = e^traiz2+(t+1)^2

Resposta

v(t) = e^t(cos t-sin t), i +e^t(sin t+cos t), j +e^t(t+1), k,
a(t) = e^tl(-2sin t, i+2cos t, j+(t+2), kr),
| v(t)| = e^traiz2+(t+1)^2

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