Exercício 8: Efetue as operações e simplifique:
  1. 1x+2x^2-2 x-6x^2-4
    x^2+6 x+872-2 x^2 cdot x^2-2 x-24x^2+8 x+16

Passo 1

O enunciado pede para efetuar e simplificar duas operações com frações algébricas:
  1. 1x+2x^2-2x-6x^2-4
  2. x^2+6x+872-2x^2;cdot;x^2-2x-24x^2+8x+16
    Vamos usar fatoração de polinômios, encontrar m.m.c. (no caso da soma) e cancelar fatores comuns.

Passo 2

Resolvendo a expressão 1):
Fatoramos os denominadores:
x^2-2x = x(x-2),
x^2-4 = (x-2)(x+2).
O m.m.c. é x(x-2)(x+2).
Reescrevendo cada fração sobre o mesmo denominador:
1x = (x-2)(x+2)x(x-2)(x+2), 2x^2-2x = 2(x+2)x(x-2)(x+2), 6x^2-4 = 6xx(x-2)(x+2)

Passo 3

Somando as frações:
(x-2)(x+2) + 2(x+2) - 6xx(x-2)(x+2) = x^2 -4 +2x+4 -6xx(x-2)(x+2) = x^2 -4xx(x-2)(x+2) = x(x-4)x(x-2)(x+2)
Cancelando x em cima e embaixo, obtemos
x-4(x-2)(x+2) = x-4x^2-4

Passo 4

Resolvendo a expressão 2):
Fatoramos numeradores e denominadores:
x^2+6x+8=(x+2)(x+4), 72-2x^2=-2(x^2-36)=-2(x-6)(x+6),
x^2-2x-24=(x-6)(x+4), x^2+8x+16=(x+4)^2
Então o produto é
(x+2)(x+4)-2(x-6)(x+6) ;cdot; (x-6)(x+4)(x+4)^2 =(x+2),cancel(x+4),cancel(x-6),cancel(x+4)-2,cancel(x-6),(x+6),cancel(x+4) =-x+22(x+6)

Resposta

(1) x-4x^2-4
(2) -x+22(x+6)

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