17-18
(a) Determine o vetor posição de uma partícula, dada a sua aceleração e suas velocidade e posição iniciais.
(b) Utilize o computador para traçar a trajetória percorrida pela partícula.
17. a(t)=2 t i+sen t j+cos 2 t k, v(0)=i, r(0)=j
18. a(t)=t i+e^t j+e^-t k, v(0)=k, r(0)=j+k

Passo 1

O enunciado pede, para dois exercícios de cinemática vetorial ( 17 e 18), determinar o vetor posição r(t) a partir da aceleração a(t) e das condições iniciais v(0) e r(0). Em seguida, traçar em computador a curva paramétrica resultante. Vamos usar integração componente a componente e ajustar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Para o exercício 17, temos
a(t)=2t, i+sin t, j+cos2t, k
e v(0)= i. Integramos para obter a velocidade geral:
v(t)=integral(2t, i+sin t, j+cos2t, k),dt+ i
=,(t^2+C1) i+(-cos t+C2) j+l(tfrac12sin2t+C3r) k
Em t=0 deve valer v(0)= i, isto é
C1=1, -1+C2=0 Rightarrow C2=1, C3=0
Logo finalmente
v(t)=(t^2+1) i+(1-cos t) j+tfrac12sin2t, k

Passo 3

Agora integramos v(t) e usamos r(0)= j:
r(t)=integral v(t),dt+ j
;=integrall((t^2+1) i+(1-cos t) j+tfrac12sin2t, kr),dt+ j
;=l(tfrac13t^3+t+C1'r) i+(t-sin t+C2') j+l(-tfrac14cos2t+C3'r) k
Em t=0 queremos r(0)=0, i+1, j+0, k, daí
C1'=0, C2'=1, -tfrac14+ C3'=0 Rightarrow C3'=tfrac14
Portanto
r(t)=l(tfrac13t^3+tr) i+l(t-sin t+1r) j+tfrac14l(1-cos2tr) k

Passo 4

Segue um exemplo de código em Python para traçar a trajetória do exercício :
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t \(=\) np.linspace(\(0\), \(10\), \(500\))
x \(=\) t**\(3\)/\(3+\) t
y \(=\) t - np.sin(t) \(+1\)
z \(=0.25\)*(\(1\) - np.cos(\(2\)*t))

fig \(=\) plt.figure()
ax \(=\) fig.\(add_subplot\)(\(111\), projection\(=\)'\(3\)d')
ax.plot(x, y, z, lw\(=2\))
ax.\(set_xlabel\)('x(t)')
ax.\(set_ylabel\)('y(t)')
ax.\(set_zlabel\)('z(t)')
plt.show()

Passo 5

Para o exercício 18, a(t)=t, i+e^t, j+e^-t, k e v(0)= k. Integramos:
v(t)=integral(t, i+e^t, j+e^-t, k),dt+ k
;=l(tfrac12t^2+C1r) i+(e^t+C2) j+(-e^-t+C3) k
Em t=0 queremos v(0)=0, i+0, j+1, k, logo
C1=0, 1+C2=0 Rightarrow C2=-1, -1+C3=1 Rightarrow C3=2
Fica
v(t)=tfrac12t^2, i+(e^t-1) j+(-e^-t+2) k

Passo 6

Integramos v(t) e aplicamos r(0)= j+ k:
r(t)=integral v(t),dt+( j+ k)
;=l(tfrac16t^3+D1r) i+(e^t-t+D2) j+(e^-t+2t+D3) k
Em t=0 impomos r(0)=(0+D1) i+(1+D2) j+(1+D3) k= j+ k, daí
D1=0, 1+D2=1 Rightarrow D2=0, 1+D3=1 Rightarrow D3=0
Logo
r(t)=tfrac16t^3, i+(e^t-t) j+(e^-t+2t) k

Passo 7

Exemplo de código em Python para o exercício :
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t \(=\) np.linspace(\(0\), \(5\), \(500\))
x \(=\) t**\(3\)/\(6\)
y \(=\) np.exp(t) - t
z \(=\) np.exp(-t) \(+2\)*t

fig \(=\) plt.figure()
ax \(=\) fig.\(add_subplot\)(\(111\), projection\(=\)'\(3\)d')
ax.plot(x, y, z, lw\(=2\), color\(=\)'red')
ax.\(set_xlabel\)('x(t)')
ax.\(set_ylabel\)('y(t)')
ax.\(set_zlabel\)('z(t)')
plt.show()

Resposta

Exercício 17:
r(t)=l(tfrac13t^3+tr) i+l(t-sin t+1r) j+tfrac14l(1-cos2tr) k
Exercício 18:
r(t)=tfrac16t^3, i+(e^t-t) j+(e^-t+2t) k

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