17-18
(a) Determine o vetor posição de uma partícula, dada a sua aceleração e suas velocidade e posição iniciais.
(b) Utilize o computador para traçar a trajetória percorrida pela partícula.
17.
18.
(a) Determine o vetor posição de uma partícula, dada a sua aceleração e suas velocidade e posição iniciais.
(b) Utilize o computador para traçar a trajetória percorrida pela partícula.
17.
18.
Passo 1
O enunciado pede, para dois exercícios de cinemática vetorial (
e
), determinar o vetor posição
a partir da aceleração
e das condições iniciais
e
. Em seguida, traçar em computador a curva paramétrica resultante. Vamos usar integração componente a componente e ajustar as constantes pelas condições iniciais.
Passo 2
Para o exercício
, temos
e . Integramos para obter a velocidade geral:
e
Em
deve valer
, isto é
Logo finalmente
Passo 3
Agora integramos
e usamos
:
Em
queremos
, daí
Portanto
Passo 4
Segue um exemplo de código em Python para traçar a trajetória do exercício
:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t \(=\) np.linspace(\(0\), \(10\), \(500\))
x \(=\) t**\(3\)/\(3+\) t
y \(=\) t - np.sin(t) \(+1\)
z \(=0.25\)*(\(1\) - np.cos(\(2\)*t))
fig \(=\) plt.figure()
ax \(=\) fig.\(add_subplot\)(\(111\), projection\(=\)'\(3\)d')
ax.plot(x, y, z, lw\(=2\))
ax.\(set_xlabel\)('x(t)')
ax.\(set_ylabel\)('y(t)')
ax.\(set_zlabel\)('z(t)')
plt.show()
Passo 5
Para o exercício
,
e
. Integramos:
Em
queremos
, logo
Fica
Passo 6
Integramos
e aplicamos
:
Em
impomos
, daí
Logo
Passo 7
Exemplo de código em Python para o exercício
:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t \(=\) np.linspace(\(0\), \(5\), \(500\))
x \(=\) t**\(3\)/\(6\)
y \(=\) np.exp(t) - t
z \(=\) np.exp(-t) \(+2\)*t
fig \(=\) plt.figure()
ax \(=\) fig.\(add_subplot\)(\(111\), projection\(=\)'\(3\)d')
ax.plot(x, y, z, lw\(=2\), color\(=\)'red')
ax.\(set_xlabel\)('x(t)')
ax.\(set_ylabel\)('y(t)')
ax.\(set_zlabel\)('z(t)')
plt.show()
Resposta
Exercício
:
Exercício
: