15.195 Um disco de
de raio, gira uniformemente com velocidade angular
em torno do braço
, que por sua vez gira a uma velocidade angular constante
em torno do eixo
. Determine (a) a aceleração angular do disco e (b) a aceleração do ponto
da borda do disco.
Passo 1
Enunciado e dados (o que o problema pede e o que foi dado):
Perguntas do enunciado:
(a) Determinar a aceleração angular do disco.
(b) Determinar a aceleração do ponto da borda do disco.
(a) Determinar a aceleração angular do disco.
(b) Determinar a aceleração do ponto
Observação importante sobre a figura/informações: o enunciado que você mandou não traz a figura do livro (posição do braço no instante considerado, distância do centro do disco ao eixo
, e a posição angular do ponto
na borda). Essas informações são necessárias para obter um valor numérico completo para a aceleração do ponto
. Portanto:
- (a) pode ser obtida sem a figura: é possível encontrar a aceleração angular vetorial do disco em termos de
e . - (b) exige informação adicional (p.ex. a distância
do eixo até o centro do disco e a posição do ponto na borda) para um valor numérico. Posso, no entanto, deduzir e apresentar uma expressão geral vetorial para que permite calcular numericamente assim que e a posição angular de forem fornecidos.
Passo 2
Modelagem da cinemática angular — representação vetorial da velocidade angular do disco:
- Vou tomar
como o eixo vertical (eixo de rotação do braço). - Seja
o versor (vetor unitário) ao longo do braço (eixo do disco): esse versor gira com o braço em torno de com velocidade angular . Em um instante genérico esse versor vale
com
. (Não preciso do valor numérico de
para achar fórmulas gerais.)
- A velocidade angular total do disco, vista no referencial inercial, é a soma vetorial da rotação do braço em torno de
e da rotação do disco em torno do seu próprio eixo . Logo:
Explicação didática: quando um corpo gira simultaneamente em torno de dois eixos instantâneos diferentes, a velocidade angular total é a soma vetorial dessas componentes — pense que cada rotação contribui com um vetor de velocidade angular e a rotação combinada é o vetor soma.
Passo 3
Cálculo da aceleração angular
:
-
e são dadas como constantes (o enunciado diz que o braço gira com velocidade angular constante e que o disco gira uniformemente em torno do braço). Assim e . - A única parte de
que varia no tempo é , porque o braço muda de direção. A derivada temporal de um versor que gira com velocidade angular satisfaz
(Justificativa curta: a taxa de variação de um vetor unitário rigidamente ligado a um corpo que gira com velocidade
é
esse vetor.)
- Portanto
- Simplificando:
Magnitude (valor numérico):
Direção: dada pelo produto vetorial
; use a regra da mão direita para saber o sentido (perpendicular aos planos formados por
e
).
Passo 4
Estratégia para achar a aceleração de um ponto
da borda do disco — fórmula fundamental e o que cada termo significa:
- Queremos a aceleração absoluta de
no referencial inercial. Escolho como ponto de referência o centro do disco, que chamo . Seguindo cinemática de corpos rígidos:
onde
-
é a aceleração do centro do disco (devido à rotação do braço em torno de ), -
é o vetor do centro até o ponto (tem comprimento ), - o termo
é a aceleração tangencial devido à variação angular do disco no espaço, - o termo
é a aceleração centrípeta (e outros efeitos inerciais) devido à velocidade angular total . - Para poder calcular numericamente
preciso conhecer (que depende da distância do eixo até o centro ) e a orientação exata de (posição angular de na borda do disco). Esses dados não foram dados no enunciado que você me enviou.
Passo 5
Cálculo simbólico e simplificações úteis (aquelas que podemos fazer sem a figura):
- Seja
a distância do eixo até o centro do disco. Então . A velocidade de por rotação do braço é . A aceleração de é
Usando a identidade vetorial
e sabendo que
(braço horizontal), obtemos
Interpretação: aceleração centrípeta do centro
, dirigida para dentro ao longo de
.
- Agora represente o vetor do centro ao ponto
:
Observação importante: como o eixo do disco é
, o vetor
está no plano perpendicular a
; logo
Passo 6
Desenvolvimento algébrico dos termos envolvendo
(sem precisar de
nem de
numericamente):
- Lembre que
e . - Primeiro simplifico
. Use identitade de produto triplo:
Logo
- Agora calcule
. Expanda por linearidade:
Desenvolvendo e usando que
e
, após simplificações (e aplicando identidades vetoriais) chega-se a:
(Se quiser, posso mostrar passo a passo essa expansão; aqui já usei a identidade
várias vezes.)
Passo 7
Juntando tudo: expressão final geral para
:
- Substituindo
, e na fórmula de aceleração:
- Usando os resultados anteriores:
- Agrupando termos iguais (os dois termos
somam):
Interpretação física dos termos:
-
: aceleração centrípeta do centro (devida à rotação do braço). -
: contribuições centrípetas (devido tanto à rotação do braço quanto à rotação do disco). -
: componente ligada à projeção vertical de (aparece porque parte de pode ter componente ao longo de ). -
: termo misto (efeito de “Coriolis/torção” entre as duas rotações) — aparece quando tem componente ao longo de .
Observação final para calcular numericamente: para obter um vetor numérico você precisa fornecer:
-
(distância do eixo ao centro do disco), e - a orientação de
em relação ao centro , ou seja, (por exemplo por um ângulo no plano do disco que relaciona às direções locais).
Resposta
(a)
(b) Expressão geral vetorial (necessita de
e da posição
de
relativa a
para avaliação numérica):