15.195 Um disco de 0,102 \mathrm{~m} de raio, gira uniformemente com velocidade angular \omega_{2}=5 \mathrm{rad} / \mathrm{s} em torno do braço A B C, que por sua vez gira a uma velocidade angular constante \omega_{1}=3 \mathrm{rad} / \mathrm{s} em torno do eixo y. Determine (a) a aceleração angular do disco e (b) a aceleração do ponto D da borda do disco.

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema pede e o que foi dado):
\text{Disko com raio }R=0{,}102\\ \mathrm{m}
\omega_2=5\\ \mathrm{rad/s}\quad(\text{velocidade angular do disco em torno do seu eixo ligado ao braço})ç
\omega_1=3\\ \mathrm{rad/s}\quad(\text{velocidade angular constante do braço }ABC\text{ em torno do eixo } \mathbf{\hat{y}})ç
Perguntas do enunciado:
(a) Determinar a aceleração angular do disco.
(b) Determinar a aceleração do ponto D da borda do disco.
Observação importante sobre a figura/informações: o enunciado que você mandou não traz a figura do livro (posição do braço no instante considerado, distância do centro do disco ao eixo y, e a posição angular do ponto D na borda). Essas informações são necessárias para obter um valor numérico completo para a aceleração do ponto D. Portanto:
  • (a) pode ser obtida sem a figura: é possível encontrar a aceleração angular vetorial do disco em termos de \omega_1 e \omega_2.
  • (b) exige informação adicional (p.ex. a distância L do eixo y até o centro do disco e a posição do ponto D na borda) para um valor numérico. Posso, no entanto, deduzir e apresentar uma expressão geral vetorial para \mathbf{a}_D que permite calcular numericamente assim que L e a posição angular de D forem fornecidos.

Passo 2

Modelagem da cinemática angular — representação vetorial da velocidade angular do disco:
  • Vou tomar \mathbf{\hat{y}} como o eixo vertical (eixo de rotação do braço).
  • Seja \mathbf{\hat{e}} o versor (vetor unitário) ao longo do braço (eixo do disco): esse versor gira com o braço em torno de \mathbf{\hat{y}} com velocidade angular \omega_1. Em um instante genérico esse versor vale
\mathbf{\hat{e}}=\cos\theta\,\mathbf{\hat{i}}+\sin\theta\,\mathbf{\hat{k}},
com \theta=\omega_1 t. (Não preciso do valor numérico de \theta para achar fórmulas gerais.)
  • A velocidade angular total do disco, vista no referencial inercial, é a soma vetorial da rotação do braço em torno de \mathbf{\hat{y}} e da rotação do disco em torno do seu próprio eixo \mathbf{\hat{e}}. Logo:
\boldsymbol{\omega}=\omega_1\,\mathbf{\hat{y}}+\omega_2\,\mathbf{\hat{e}}.
Explicação didática: quando um corpo gira simultaneamente em torno de dois eixos instantâneos diferentes, a velocidade angular total é a soma vetorial dessas componentes — pense que cada rotação contribui com um vetor de velocidade angular e a rotação combinada é o vetor soma.

Passo 3

Cálculo da aceleração angular \boldsymbol{\alpha}=\dfrac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}:
  • \omega_1 e \omega_2 são dadas como constantes (o enunciado diz que o braço gira com velocidade angular constante e que o disco gira uniformemente em torno do braço). Assim \dot{\omega}_1=0 e \dot{\omega}_2=0.
  • A única parte de \boldsymbol{\omega} que varia no tempo é \mathbf{\hat{e}}(t), porque o braço muda de direção. A derivada temporal de um versor que gira com velocidade angular \omega_1\mathbf{\hat{y}} satisfaz
\frac{d\mathbf{\hat{e}}}{dt}=\omega_1\,\mathbf{\hat{y}}\times\mathbf{\hat{e}}.
(Justificativa curta: a taxa de variação de um vetor unitário rigidamente ligado a um corpo que gira com velocidade \boldsymbol{\omega}_1 é \boldsymbol{\omega}_1\times esse vetor.)
  • Portanto
\boldsymbol{\alpha}=\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} =\frac{d}{dt}\big(\omega_1\mathbf{\hat{y}}+\omega_2\mathbf{\hat{e}}\big) =0+\omega_2\frac{d\mathbf{\hat{e}}}{dt} =\omega_2\big(\omega_1\mathbf{\hat{y}}\times\mathbf{\hat{e}}\big).
  • Simplificando:
\boxed{\boldsymbol{\alpha}=\omega_1\omega_2\;(\mathbf{\hat{y}}\times\mathbf{\hat{e}}).}
Magnitude (valor numérico):
\|\boldsymbol{\alpha}\|=\omega_1\omega_2=3\times5=15\\ \mathrm{rad/s^2}.
Direção: dada pelo produto vetorial \mathbf{\hat{y}}\times\mathbf{\hat{e}}; use a regra da mão direita para saber o sentido (perpendicular aos planos formados por \mathbf{\hat{y}} e \mathbf{\hat{e}}).

Passo 4

Estratégia para achar a aceleração de um ponto D da borda do disco — fórmula fundamental e o que cada termo significa:
  • Queremos a aceleração absoluta de D no referencial inercial. Escolho como ponto de referência o centro do disco, que chamo C. Seguindo cinemática de corpos rígidos:
\mathbf{a}_D=\mathbf{a}_C+\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_{D/C}+\boldsymbol{\omega}\times\big(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{D/C}\big),
onde
  • \mathbf{a}_C é a aceleração do centro do disco (devido à rotação do braço em torno de \mathbf{\hat{y}}),
  • \mathbf{r}_{D/C} é o vetor do centro C até o ponto D (tem comprimento R),
  • o termo \boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_{D/C} é a aceleração tangencial devido à variação angular do disco no espaço,
  • o termo \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{D/C}) é a aceleração centrípeta (e outros efeitos inerciais) devido à velocidade angular total \boldsymbol{\omega}.
  • Para poder calcular numericamente \mathbf{a}_D preciso conhecer \mathbf{a}_C (que depende da distância L do eixo y até o centro C) e a orientação exata de \mathbf{r}_{D/C} (posição angular de D na borda do disco). Esses dados não foram dados no enunciado que você me enviou.

Passo 5

Cálculo simbólico e simplificações úteis (aquelas que podemos fazer sem a figura):
  • Seja L a distância do eixo y até o centro C do disco. Então \mathbf{r}_C=L\mathbf{\hat{e}}. A velocidade de C por rotação do braço é \mathbf{v}_C=\omega_1\mathbf{\hat{y}}\times\mathbf{r}_C. A aceleração de C é
\mathbf{a}_C=\omega_1\mathbf{\hat{y}}\times(\omega_1\mathbf{\hat{y}}\times\mathbf{r}_C) =L\omega_1^2\;\mathbf{\hat{y}}\times(\mathbf{\hat{y}}\times\mathbf{\hat{e}}).
Usando a identidade vetorial \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})\mathbf{a} e sabendo que \mathbf{\hat{y}}\cdot\mathbf{\hat{e}}=0 (braço horizontal), obtemos
\mathbf{a}_C=-L\omega_1^2\,\mathbf{\hat{e}}.
Interpretação: aceleração centrípeta do centro C, dirigida para dentro ao longo de -\mathbf{\hat{e}}.
  • Agora represente o vetor do centro ao ponto D:
\mathbf{r}_{D/C}=\mathbf{r},\qquad \|\mathbf{r}\|=R.
Observação importante: como o eixo do disco é \mathbf{\hat{e}}, o vetor \mathbf{r} está no plano perpendicular a \mathbf{\hat{e}}; logo
\mathbf{\hat{e}}\cdot\mathbf{r}=0.

Passo 6

Desenvolvimento algébrico dos termos envolvendo \mathbf{r}_{D/C} (sem precisar de \varphi nem de L numericamente):
  • Lembre que \boldsymbol{\omega}=\omega_1\mathbf{\hat{y}}+\omega_2\mathbf{\hat{e}} e \boldsymbol{\alpha}=\omega_1\omega_2(\mathbf{\hat{y}}\times\mathbf{\hat{e}}).
  • Primeiro simplifico \boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}. Use identitade de produto triplo:
(\mathbf{\hat{y}}\times\mathbf{\hat{e}})\times\mathbf{r} =\mathbf{\hat{e}}(\mathbf{\hat{y}}\cdot\mathbf{r})-\mathbf{\hat{y}}(\mathbf{\hat{e}}\cdot\mathbf{r}) =\mathbf{\hat{e}}(\mathbf{\hat{y}}\cdot\mathbf{r})-0 =(\mathbf{\hat{y}}\cdot\mathbf{r})\,\mathbf{\hat{e}}.
Logo
\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}=\omega_1\omega_2(\mathbf{\hat{y}}\cdot\mathbf{r})\,\mathbf{\hat{e}}.
  • Agora calcule \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}). Expanda por linearidade:
\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}) =(\omega_1\mathbf{\hat{y}}+\omega_2\mathbf{\hat{e}})\times\big((\omega_1\mathbf{\hat{y}}+\omega_2\mathbf{\hat{e}})\times\mathbf{r}\big).
Desenvolvendo e usando que \mathbf{\hat{e}}\cdot\mathbf{r}=0 e \mathbf{\hat{y}}\cdot\mathbf{\hat{e}}=0, após simplificações (e aplicando identidades vetoriais) chega-se a:
\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}) =-(\omega_1^2+\omega_2^2)\mathbf{r} +\omega_1^2\,\mathbf{\hat{y}}(\mathbf{\hat{y}}\cdot\mathbf{r}) +\omega_1\omega_2(\mathbf{\hat{y}}\cdot\mathbf{r})\,\mathbf{\hat{e}}.
(Se quiser, posso mostrar passo a passo essa expansão; aqui já usei a identidade \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})\mathbf{a} várias vezes.)

Passo 7

Juntando tudo: expressão final geral para \mathbf{a}_D:
  • Substituindo \mathbf{a}_C, \boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r} e \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}) na fórmula de aceleração:
\mathbf{a}_D=\mathbf{a}_C+\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}+\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}).
  • Usando os resultados anteriores:
\mathbf{a}_D=-L\omega_1^2\,\mathbf{\hat{e}} +\omega_1\omega_2(\mathbf{\hat{y}}\cdot\mathbf{r})\,\mathbf{\hat{e}} -\big(\omega_1^2+\omega_2^2\big)\mathbf{r} +\omega_1^2\,\mathbf{\hat{y}}(\mathbf{\hat{y}}\cdot\mathbf{r}) +\omega_1\omega_2(\mathbf{\hat{y}}\cdot\mathbf{r})\,\mathbf{\hat{e}}.
  • Agrupando termos iguais (os dois termos \omega_1\omega_2(\mathbf{\hat{y}}\cdot\mathbf{r})\,\mathbf{\hat{e}} somam):
\boxed{\displaystyle \mathbf{a}_D=-L\omega_1^2\,\mathbf{\hat{e}}-(\omega_1^2+\omega_2^2)\mathbf{r} +\omega_1^2\,\mathbf{\hat{y}}(\mathbf{\hat{y}}\cdot\mathbf{r}) +2\omega_1\omega_2(\mathbf{\hat{y}}\cdot\mathbf{r})\,\mathbf{\hat{e}}. }
Interpretação física dos termos:
  • -L\omega_1^2\,\mathbf{\hat{e}}: aceleração centrípeta do centro C (devida à rotação do braço).
  • -(\omega_1^2+\omega_2^2)\mathbf{r}: contribuições centrípetas (devido tanto à rotação do braço quanto à rotação do disco).
  • \omega_1^2\,\mathbf{\hat{y}}(\mathbf{\hat{y}}\cdot\mathbf{r}): componente ligada à projeção vertical de \mathbf{r} (aparece porque parte de \mathbf{r} pode ter componente ao longo de \mathbf{\hat{y}}).
  • 2\omega_1\omega_2(\mathbf{\hat{y}}\cdot\mathbf{r})\,\mathbf{\hat{e}}: termo misto (efeito de “Coriolis/torção” entre as duas rotações) — aparece quando \mathbf{r} tem componente ao longo de \mathbf{\hat{y}}.
Observação final para calcular numericamente: para obter um vetor numérico você precisa fornecer:
  • L (distância do eixo y ao centro do disco), e
  • a orientação de D em relação ao centro C, ou seja, \mathbf{r} (por exemplo por um ângulo \varphi no plano do disco que relaciona \mathbf{r} às direções locais).

Resposta

(a) \displaystyle \boldsymbol{\alpha}=\omega_1\omega_2\;(\mathbf{\hat{y}}\times\mathbf{\hat{e}}),\quad \|\boldsymbol{\alpha}\|=\omega_1\omega_2=15\\ \mathrm{rad/s^2}.
(b) Expressão geral vetorial (necessita de L e da posição \mathbf{r} de D relativa a C para avaliação numérica):
\displaystyle \mathbf{a}_D=-L\omega_1^2\,\mathbf{\hat{e}}-(\omega_1^2+\omega_2^2)\mathbf{r} +\omega_1^2\,\mathbf{\hat{y}}(\mathbf{\hat{y}}\cdot\mathbf{r}) +2\omega_1\omega_2(\mathbf{\hat{y}}\cdot\mathbf{r})\,\mathbf{\hat{e}}.

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