15-18 Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condiçc̃es dadas.
lim x -1^- f(x)=0, lim x -1^+ f(x)=1, lim x 2 f(x)=3, f(-1)=2, f(2)=1

Passo 1

O enunciado pede para construir (e esboçar) uma função f que tenha saltos em x=-1 e em x=2, satisfazendo
limxto -1^-f(x)=0, limxto -1^+f(x)=1, limxto2f(x)=3,
além de assumir os valores pontuais f(-1)=2 e f(2)=1. Vamos montar um exemplo simples em pedaços lineares ou constantes que garanta esses limites e valores.

Passo 2

Para x<-1, queremos limxto -1^-f(x)=0. A escolha mais simples é tomar
f(x)=0 para x<-1
No gráfico, isso é uma reta horizontal no valor y=0, com círculo aberto em l(-1,0r).

Passo 3

Para -1<x<2, devemos garantir que limxto -1^+f(x)=1 e limxto2f(x)=3. Uma reta que faça essa transição é
f(x)=1 + 3-12-(-1),(x+1) =1 + 23,(x+1)
Nesse trecho, em x=-1 (por limite pela direita) chega em y=1, e em x=2 (por limite pela esquerda) chega em y=3. Colocamos círculos abertos em (-1,1) e em (2,3).

Passo 4

Para x>2, como limxto2f(x)=3, podemos simplesmente tomar
f(x)=3 para x>2
Isto é uma reta horizontal em y=3, com círculo aberto em l(2,3r).

Passo 5

Agora atribuimos os valores pontuais pedidos:
f(-1)=2, f(2)=1
No gráfico, colocamos um ponto cheio em l(-1,2r) e outro em l(2,1r).

Passo 6

Resumo do esboço:
— Para x<-1, reta em y=0 com círculo aberto em (-1,0).
— Em x=-1, ponto sólido em (-1,2).
— Para -1<x<2, reta ligando o ponto aberto em (-1,1) ao aberto em (2,3).
— Em x=2, ponto sólido em (2,1).
— Para x>2, reta em y=3 com círculo aberto em (2,3).

Resposta

Uma definição piecewise que implementa tudo isso é
f(x)= 0, & x<-1, 1 + dfrac23,(x+1), & -1<x<2, 3, & x>2, f(-1)=2, f(2)=1

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