Identifique a cônica, determine seus vértices, focos, medida dos eixos, assíntotas no caso de hipérboles e reta diretriz no caso de parábola:
7x^2=15y

Passo 1

O enunciado dá a equação
7x^2 = 15y
e pede para identificar a cônica, seus vértices, focos, medida dos eixos, assíntotas (se for hipérbole) ou reta diretriz (se for parábola). Vamos usar critérios de discriminante e forma padrão das cônicas.

Passo 2

Para classificar, escrevemos na forma geral
7x^2 - 15y = 0
O discriminante das conicas Ax^2 + Bxy + Cy^2 + dots = 0 é De<a = B^2-4AC. Aqui A=7, B=0, C=0, então
De<a = 0^2 - 4cdot7cdot0 = 0,
o que indica que a conica é uma parábola.

Passo 3

Isolando y, temos
y = 715,x^2
Para parábolas orientadas verticalmente, a forma padrão é
y = 14p,x^2,
onde p é a distância do vértice ao foco.

Passo 4

Comparando
14p = 715,
segue que
4p = 157, p = 1528

Passo 5

Do valor de p concluímos:
  • Vértice em (0,0), pois não há translação.
  • Foco em l(0,pr) = l(0,tfrac1528r).
  • Diretriz dada por y = -p, ou seja
y = -1528

Passo 6

A parábola não tem assíntotas. A reta eixo de simetria é x=0. A medida do latus rectum (o “eixo” relevante da parábola) é 4p, logo
comprimento do latus rectum = 4p = 157

Resposta

Parábola
Vértice: (0,0)
Foco: l(0,tfrac1528r)
Diretriz: y = -tfrac1528
Eixo de simetria: x = 0
Comprimento do latus rectum: tfrac157

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