Calcule as integrais:
integral arctg y d y

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral arctgy ,dy
O conteúdo principal aqui é integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos as funções de forma a simplificar o resultado:
u = arctgy, dv = dy
Assim, vamos calcular du e v.

Passo 3

Derivando u e integrando dv:
du = ddyl(arctgyr),dy = 11+y^2,dy, v = integral dv = integral dy = y

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral arctgy,dy = u,v - integral v,du = y;arctgy - integral ycdot11+y^2,dy
Agora calculamos
integral y1+y^2,dy
Fazemos a substituição t = 1+y^2, logo dt = 2y,dy, ou seja,
integral y1+y^2,dy = tfrac12 integral dtt = tfrac12 lnl|tr| + C = tfrac12 lnl(1+y^2r) + C

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
integral arctgy,dy = y,arctgy - tfrac12 lnl(1+y^2r) + C

Resposta

boxedintegral arctgy,dy = y,arctgy - tfrac12 lnl(1+y^2r) + C

Exercícios relacionados