\int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x\left(1+(\ln x)^{2}\right)} d x
Subst.: u=\ln x \Rightarrow d u=\frac{d x}{x}. Limites: 0 \rightarrow 2.
\int_{0}^{2} \frac{d u}{1+u^{2}}=\left.\arctan u\right|_{0} ^{2}=\arctan 2

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{1}^{e^{2}}\frac{1}{x\bigl(1+(\ln x)^{2}\bigr)}\,dx
Usaremos o método de substituição, pois vemos \ln x e dx/x.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = \ln x \quad\Longrightarrow\quad du = \frac{dx}{x}.
Quando x=1, u=0. Quando x=e^{2}, u=2. Assim a integral vira
\int_{1}^{e^{2}}\frac{1}{x\bigl(1+(\ln x)^{2}\bigr)}\,dx = \int_{0}^{2}\frac{du}{1+u^{2}}.

Passo 3

Sabemos que
\int\frac{du}{1+u^{2}} = \arctan(u).
Logo
\int_{0}^{2}\frac{du}{1+u^{2}} = \left.\arctan(u)\right|_{0}^{2}.

Passo 4

Avaliando nos limites:
\arctan(2) - \arctan(0) = \arctan(2) - 0 = \arctan(2).

Resposta

\arctan(2)

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