15.3 Considere uma base
não necessariamente ortonormal de um espaço vetorial genérico
. Um vetor
qualquer de
é
. A representação matricial de
é
.
a)
, mostre que
.
b) Exprima
matricialmente, em função de
,
e de
, onde [
] é a matriz cujos elementos são os
definidos acima.
a)
b) Exprima
Passo 1
O enunciado trata do produto interno num espaço vetorial genérico
quando escolhemos uma base não ortonormal
. Definimos a matriz de Gram
cujos elementos são
Precisamos (a) mostrar que
e (b) expressar
em termos de
,
e
.
Passo 2
Para (a), lembramos a propriedade de conjugação do produto interno em espaços complexos (simetria conjugada):
Aplicando isso a
e
, obtemos
Passo 3
Para (b), escrevemos
e então
Reconhecemos esse duplo somatório como multiplicação matricial se definirmos
e
. Denotando por
o conjugado transposto de
, fica
Resposta
a)
b)
b)