15.3 Considere uma base E=\left\{\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right\} não necessariamente ortonormal de um espaço vetorial genérico \mathbb{V}. Um vetor \boldsymbol{x} qualquer de \mathbb{V} é \boldsymbol{x}=\sum_{i} x_{i} \boldsymbol{e}_{i}. A representação matricial de x é [x]=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right]^{\top}.
a) \operatorname{Se}\left\langle\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{j}\right\rangle=M_{i, j}, mostre que M_{i, j}=M_{j, i}^{*}.
b) Exprima \langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle matricialmente, em função de [\boldsymbol{x}], [\boldsymbol{y}] e de [\boldsymbol{M}], onde [ \boldsymbol{M} ] é a matriz cujos elementos são os M_{i, j} s definidos acima.

Passo 1

O enunciado trata do produto interno num espaço vetorial genérico \mathbb V quando escolhemos uma base não ortonormal E=\{\boldsymbol e_{1},\dots,\boldsymbol e_{n}\}. Definimos a matriz de Gram [\boldsymbol M] cujos elementos são
M_{i,j}=\langle \boldsymbol e_{i},\boldsymbol e_{j}\rangle.
Precisamos (a) mostrar que M_{i,j}=M_{j,i}^{*} e (b) expressar \langle \boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle em termos de [\boldsymbol x], [\boldsymbol y] e [\boldsymbol M].

Passo 2

Para (a), lembramos a propriedade de conjugação do produto interno em espaços complexos (simetria conjugada):
\langle \boldsymbol u,\boldsymbol v\rangle = \langle \boldsymbol v,\boldsymbol u\rangle^{*}.
Aplicando isso a \boldsymbol e_{i} e \boldsymbol e_{j}, obtemos
M_{i,j}=\langle \boldsymbol e_{i},\boldsymbol e_{j}\rangle =\langle \boldsymbol e_{j},\boldsymbol e_{i}\rangle^{*} = M_{j,i}^{*}.

Passo 3

Para (b), escrevemos
\boldsymbol x=\sum_{i}x_{i}\,\boldsymbol e_{i}, \quad \boldsymbol y=\sum_{j}y_{j}\,\boldsymbol e_{j},
e então
\langle \boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle =\Big\langle \sum_{i}x_{i}\boldsymbol e_{i},\,\sum_{j}y_{j}\boldsymbol e_{j}\Big\rangle =\sum_{i}\sum_{j}x_{i}^{*}\,\langle \boldsymbol e_{i},\boldsymbol e_{j}\rangle\,y_{j} =\sum_{i,j}x_{i}^{*}\,M_{i,j}\,y_{j}.
Reconhecemos esse duplo somatório como multiplicação matricial se definirmos [\boldsymbol x]=[x_{1},\dots,x_{n}]^{\top} e [\boldsymbol M]=(M_{i,j}). Denotando por [\boldsymbol x]^{*} o conjugado transposto de [\boldsymbol x], fica
\langle \boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle =[\boldsymbol x]^{*}\,[\boldsymbol M]\,[\boldsymbol y].

Resposta

a) M_{i,j}=M_{j,i}^{*}.
b) \displaystyle \langle \boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle =[\boldsymbol x]^{*}\,[\boldsymbol M]\,[\boldsymbol y].

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