Exercício 15. Neste problema, indicamos um método alternativo ao Teorema de Lax-Milgram para provar a existência de soluções fracas para equações diferenciais parciais como às que estudamos em aula (e até outras mais gerais). Considere Omega subset R^d um aberto limitado com fronteira partial Omega in C^1.
(i) Dada uma função f in L^2(Omega), seja J: H0^1(Omega) longrightarrow R o func(ional (não-linear) definido por
J(u):=integralOmega(12|nabla u(x)|^2-f(x) u(x)) d x
Suponhamos que u é um minimizante de J em H0^1(Omega), isto é, suponhamos que J(u) <= J(v), para qualquer v in H0^1(Omega). Prove que u é uma solução fraca do problema
l -De<a u=f em Omega, u=0 em partial Omega
Dica: Fixados varepsilon>0 e v in H0^1(Omega), utilize que
J(u+varepsilon v)-J(u)varepsilon >= 0
Simplificando a expressão e fazendo varepsilon longrightarrow 0, obtemos uma desigualdade, semelhante à igualdade que define soluções fracas, válida para qualquer v in H0^1(Omega). Conclua observando que a desigualdade obtida pode ser aplicada com a função -v no lugar de v.
(ii) Generalize o item anterior, minimizando o funcional
J(u):=integralOmega(12lang<= A(x) nabla u(x), nabla u(x)rang<=-f(x) u(x)) d x
no espaço de Sobolev H0^1(Omega). Mais precisamente, prove que minimizantes são soluções fracas da equação linear
-div(A(x) nabla u(x))=f(x) em Omega, u=0 em partial Omega
(iii) Generalize ainda mais e mostre que minimizantes de
J(u):=integralOmega L(nabla u(x), u(x), x) d x
onde L: R^d times Omega longrightarrow R é uma função suave, denominada o Lagrangiano do sistema, são soluções fracas de
-divx(partialp L(nabla u(x), u(x), x))=partialz L(nabla u(x), u(x), x) em Omega, u=0 em partial Omega
Este exercício de fato mostra uma maneira alternativa de provar a existência de soluções. Uma vez que se consegue mostrar a existência de minimizantes para o funcional, tipicamente através de técnicas do cálculo de variações, automaticamente este exercício mostra que tal minimizante é uma solução do respectivo problema. Este é estratégia é conhecida como método (ou técnica) variacional.

Passo 1

O enunciado trata de mostrar que, se uin H0^1(Omega) minimiza o funcional
J(u)=integralOmegal(tfrac12|nabla u(x)|^2-f(x),u(x)r), d x,
então u é solução fraca de
-De<a u=fem Omega, u=0 em partialOmega
Em seguida, generaliza-se o mesmo argumento para
J(u)=integralOmegal(tfrac12lang<= A(x)nabla u,nabla urang<= - f,ur), d x
e finalmente para o funcional
J(u)=integralOmegaLl(nabla u(x),u(x),xr), d x,
mostrando em cada caso que a primeira variação nula em todas as direções vin H0^1(Omega) produz a forma fraca da respectiva equação de Euler–Lagrange.

Passo 2

Parte (i): considere uma direção vin H0^1(Omega) e varepsilon>0.
Calcule a diferença
J(u+varepsilon v)-J(u)varepsilon =integralOmegal(nabla ucdotnabla v - f,v + tfracvarepsilon2,|nabla v|^2r), d x
Como u minimiza, esta quantidade é >=0 para todo varepsilon>0.

Passo 3

Fazendo varepsilonto0^+ obtemos
integralOmegal(nabla ucdotnabla v - f,vr), d x>=0
Aplicando o mesmo raciocínio a -v segue a desigualdade oposta, logo
integralOmeganabla ucdotnabla v, d x =integralOmegaf,v, d x forall,vin H0^1(Omega),
que é exatamente a forma fraca de
-De<a u=f em Omega, u=0 em partialOmega.

Passo 4

Parte (ii): repita o cálculo para
J(u)=integralOmegal(tfrac12lang<= A(x)nabla u,nabla urang<= - f,ur), d x
A primeira variação em direção v
d dvarepsilonJ(u+varepsilon v)|varepsilon=0 =integralOmegallang<= A(x)nabla u,nabla vrrang<= -!f,v, d x=0,
logo
integralOmegalang<= Anabla u,nabla vrang<=, d x =integralOmegaf,v, d x forall,v,
que é a forma fraca de -div(Anabla u)=f.

Passo 5

Parte (iii): para
J(u)=integralOmegaLl(nabla u,u,xr), d x
a variação em direção v fornece
d dvarepsilonJ(u+varepsilon v)|varepsilon=0 =integralOmegal(partialpL(nabla u,u,x)cdotnabla v +partialzL(nabla u,u,x),vr), d x=0
Integrando por partes o termo com nabla v (e usando v|partialOmega=0) resulta
-!integralOmegadivxl(partialpL(nabla u,u,x)r),v, d x +integralOmegapartialzL(nabla u,u,x),v, d x=0,
para todo v. Isso é a forma fraca de
-divxl(partialpL(nabla u,u,x)r) =partialzL(nabla u,u,x) em Omega, u=0 em partialOmega

Resposta

(i) Minimizar
J(u)=integralOmegal(tfrac12|nabla u|^2-f,ur)
implica
integralOmeganabla ucdotnabla v=integralOmegaf,v,
isto é,
-De<a u=f fraco em Omega, u=0 em partialOmega.
(ii) Para
J(u)=integralOmegal(tfrac12lang<= Anabla u,nabla urang<=-f,ur)
obtém-se
integralOmegalang<= Anabla u,nabla vrang<==integralOmegaf,v,
ou seja, -div(Anabla u)=f fraco.
(iii) Para o funcional geral
J(u)=integralOmegaL(nabla u,u,x)
a primeira variação nula dá o PDE de Euler–Lagrange
-divxl(partialpL(nabla u,u,x)r) =partialzL(nabla u,u,x)
em forma fraca, com u=0 na fronteira.

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