Exercício 15. Neste problema, indicamos um método alternativo ao Teorema de Lax-Milgram para provar a existência de soluções fracas para equações diferenciais parciais como às que estudamos em aula (e até outras mais gerais). Considere um aberto limitado com fronteira .
(i) Dada uma função , seja o func(ional (não-linear) definido por
Suponhamos que é um minimizante de em , isto é, suponhamos que , para qualquer . Prove que é uma solução fraca do problema
Dica: Fixados e , utilize que
Simplificando a expressão e fazendo , obtemos uma desigualdade, semelhante à igualdade que define soluções fracas, válida para qualquer . Conclua observando que a desigualdade obtida pode ser aplicada com a função no lugar de .
(ii) Generalize o item anterior, minimizando o funcional
no espaço de Sobolev . Mais precisamente, prove que minimizantes são soluções fracas da equação linear
(iii) Generalize ainda mais e mostre que minimizantes de
onde é uma função suave, denominada o Lagrangiano do sistema, são soluções fracas de
Este exercício de fato mostra uma maneira alternativa de provar a existência de soluções. Uma vez que se consegue mostrar a existência de minimizantes para o funcional, tipicamente através de técnicas do cálculo de variações, automaticamente este exercício mostra que tal minimizante é uma solução do respectivo problema. Este é estratégia é conhecida como método (ou técnica) variacional.
Passo 1
O enunciado trata de mostrar que, se minimiza o funcional
então é solução fraca de
Em seguida, generaliza-se o mesmo argumento para
e finalmente para o funcional
mostrando em cada caso que a primeira variação nula em todas as direções produz a forma fraca da respectiva equação de Euler–Lagrange.
Passo 2
Parte (i): considere uma direção e .
Calcule a diferença
Como minimiza, esta quantidade é para todo .
Passo 3
Fazendo obtemos
Aplicando o mesmo raciocínio a segue a desigualdade oposta, logo
que é exatamente a forma fraca de em , em .
Passo 4
Parte (ii): repita o cálculo para
A primeira variação em direção dá
logo
integralOmegalang<= Anabla u,nabla vrang<=, d x =integralOmegaf,v, d x forall,v,
que é a forma fraca de -div(Anabla u)=f.
Passo 5
Parte (iii): para
J(u)=integralOmegaLl(nabla u,u,xr), d x
a variação em direção v fornece
d dvarepsilonJ(u+varepsilon v)|varepsilon=0 =integralOmegal(partialpL(nabla u,u,x)cdotnabla v +partialzL(nabla u,u,x),vr), d x=0
Integrando por partes o termo com nabla v (e usando v|partialOmega=0) resulta
-!integralOmegadivxl(partialpL(nabla u,u,x)r),v, d x +integralOmegapartialzL(nabla u,u,x),v, d x=0,
para todo v. Isso é a forma fraca de
-divxl(partialpL(nabla u,u,x)r) =partialzL(nabla u,u,x) em Omega, u=0 em partialOmega
Resposta
(i) Minimizar J(u)=integralOmegal(tfrac12|nabla u|^2-f,ur)
implica integralOmeganabla ucdotnabla v=integralOmegaf,v,
isto é, -De<a u=f fraco em Omega, u=0 em partialOmega.
(ii) Para J(u)=integralOmegal(tfrac12lang<= Anabla u,nabla urang<=-f,ur)
obtém-se integralOmegalang<= Anabla u,nabla vrang<==integralOmegaf,v,
ou seja, -div(Anabla u)=f fraco.
(iii) Para o funcional geral J(u)=integralOmegaL(nabla u,u,x)
a primeira variação nula dá o PDE de Euler–Lagrange