(7.15.1 - Adaptada) Uma partícula desloca-se sobre o eixo y com função de posição y=3+2 t-t^2, t >= 0(SI).
a. Qual a velocidade no instante t?
b. Qual a aceleração no instante t?
c. Estude a variação de sinal de v(t). Interprete fisicamente.
d. Esboce o gráfico da função posição.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo y como
y(t)=3+2t-t^2, t>=0,
e pede: a velocidade v(t), a aceleração a(t), o estudo do sinal de v(t) com interpretação física e o esboço do gráfico de y(t). Vamos usar derivação para as duas primeiras e análise de quadrática para as últimas.

Passo 2

A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.
v(t)=dydt=2-2t
a(t)=dvdt=d^2ydt^2=-2

Passo 3

Para estudar o sinal de v(t)=2-2t encontramos onde ela zera:
2-2t=0 Rightarrow t=1
Para 0<= t<1 temos v(t)>0 (movimento para o sentido positivo de y), em t=1 a partícula para ( v=0) e para t>1 v(t)<0 (inverte o sentido e volta no eixo y).

Passo 4

O gráfico de é uma parábola aberta para baixo.
  • Vértice em
  • Ponto inicial .
  • Raiz real positiva em
Esboço (eixo horizontal, vertical):
      y  
       |         \(\bullet\) V\((1,4)\)  
    \(4\) -|        / \  
       |       /   \  
    \(3\) -|\(\bullet\)\((0,3)\)/     \  
       |     /       \  
    \(0\) -|––––––––––––––– t  

Resposta

a) ,v(t)=2-2t.
b) ,a(t)=-2.
c) v(t)>0 para 0<= t<1, v(1)=0, v(t)<0 para t>1; isso significa que a partícula sobe até t=1, para e depois inverte o movimento.
d) Gráfico de y(t): parábola aberta para baixo com vértice em (1,4), intercepto em (0,3) e outra raiz em t=3.

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