O campo elétrico a uma distância de 0,145 m da superficie de uma esfera isolante maciça, com raio igual a 0,355 m, é de 1750 N / C.
a. Supondo que a carga da esfera esteja uniformemente distribuida, qual é a densidade da carga dentro dela?
b. Calcule o campo elétrico no interior da esfera a uma distância de 0,200 m do centro.
c. Calcule o campo elétrico a uma distância de 0,500 \mathrm{~m} do centro, no exterior da esfera.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera isolante de raio R = 0,355\,\mathrm{m} com carga distribuída de forma uniforme no volume. Sabemos que, a uma distância de 0,145\,\mathrm{m} da superfície, isto é, a r = R + 0,145 = 0,500\,\mathrm{m} do centro, o campo elétrico vale E = 1750\,\mathrm{N/C}. Vamos usar a lei de Gauss para esferas carregadas uniformemente, cujas fórmulas externas e internas são
E_{\text{fora}}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}, \qquad E_{\text{dentro}}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q\,r}{R^3}.
Com Q carga total e \rho=Q/\bigl(\tfrac{4}{3}\pi R^3\bigr), obteremos (a) \rho, (b) E em r=0,200\,\mathrm{m} e (c) E em r=0,500\,\mathrm{m}.

Passo 2

Para achar \rho, primeiro calculamos Q usando o campo externo em r=0,500\,\mathrm{m}:
E(0,500)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{(0,500)^2} \quad\Longrightarrow\quad Q = E\,(4\pi\epsilon_0)\,(0,500)^2.
Em seguida,
\rho = \frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^3} = \frac{E\,(4\pi\epsilon_0)\,r^2}{\tfrac{4}{3}\pi R^3} =3\,\epsilon_0\,E\,\frac{r^2}{R^3}.
Substituindo \epsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}, E=1750\,\mathrm{N/C}, r=0,500\,\mathrm{m} e R=0,355\,\mathrm{m}, obtemos
\rho \approx 2,60\times10^{-7}\,\mathrm{C/m^3}.

Passo 3

Para o campo no interior, a r=0,200\,\mathrm{m}, usamos
E_{\text{dentro}}(r) =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q\,r}{R^3} =\frac{\rho\,r}{3\,\epsilon_0}.
Logo,
E(0,200) =\frac{2,60\times10^{-7}}{3\cdot8,85\times10^{-12}}\;(0,200) \approx1,96\times10^{3}\,\mathrm{N/C}.

Passo 4

Para r=0,500\,\mathrm{m} (fora, r>R) o campo é o mesmo do dado inicial, pois
E_{\text{fora}}(0,500) =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{(0,500)^2} =1750\,\mathrm{N/C}.

Resposta

a. \rho \approx 2,60\times10^{-7}\,\mathrm{C/m^3}.
b. E(0{,}200\,\mathrm{m})\approx1,96\times10^{3}\,\mathrm{N/C}.
c. E(0{,}500\,\mathrm{m})=1,75\times10^{3}\,\mathrm{N/C}.

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