15 Para uma caixa retangular sem tampa, de área de superfície A, quais as dimensões relativas que fornecem o volume máximo.

Passo 1

O enunciado pede as dimensões de uma caixa retangular aberta (sem tampa) de área de superfície fixa A que maximizam o volume. O conteúdo principal aqui é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos as variáveis: x e y são as arestas da base e z é a altura. Então a área de superfície (sem tampa) é
xy + 2xz + 2yz = A
e o volume é
V = xyz

Passo 3

Para lidar com a restrição xy + 2xz + 2yz = A, montamos a função de Lagrange
L(x,y,z,lambda) = xyz - lambda,(xy + 2xz + 2yz - A)

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partialLpartial x = yz - lambda(y + 2z) = 0, partialLpartial y = xz - lambda(x + 2z) = 0, partialLpartial z = xy - lambda(2x + 2y) = 0
Da igualdade das duas primeiras equações (dividindo por z e reorganizando) obtemos
yy+2z = xx+2zimplies x = y
Substituindo x=y em qualquer das primeiras dá, após isolar lambda, a relação
2z = xLongrightarrow z = x2

Passo 5

Voltando à restrição de área com x=y e z=x/2:
x^2 + 4xl(x2r) = 3x^2 = A
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x = y = raizA3,
e
z = x2 = raizA12

Resposta

As dimensões que maximizam o volume são base quadrada com lados x=y=raizA/3 e altura z=raizA/12, ou seja, a altura vale metade do lado da base.

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