15 Para uma caixa retangular sem tampa, de área de superfície
, quais as dimensões relativas que fornecem o volume máximo.
Passo 1
O enunciado pede as dimensões de uma caixa retangular aberta (sem tampa) de área de superfície fixa
que maximizam o volume. O conteúdo principal aqui é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos as variáveis:
e
são as arestas da base e
é a altura. Então a área de superfície (sem tampa) é
e o volume é
Passo 3
Para lidar com a restrição
, montamos a função de Lagrange
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Da igualdade das duas primeiras equações (dividindo por
e reorganizando) obtemos
Substituindo
em qualquer das primeiras dá, após isolar
, a relação
Passo 5
Voltando à restrição de área com
e
:
Logo
e
Resposta
As dimensões que maximizam o volume são base quadrada com lados
e altura
, ou seja, a altura vale metade do lado da base.