Calcule os seguintes limites
lim (x, y, z) (0,0,0) x^3+y^3+z^3x^2+y^2+z^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
of the function
x^3+y^3+z^3x^2+y^2+z^2
quando
(x,y,z)(0,0,0). Estamos no tema de limites de funções de várias variáveis e vamos precisar analisar como o numerador e o denominador se comportam em torno da origem.

Passo 2

Para organizar a análise, definimos
r=raizx^2+y^2+z^2
Note que quando (x,y,z)to(0,0,0) temos rto0. Além disso, cada uma das coordenadas satisfaz
|x|<= r, |y|<= r, |z|<= r

Passo 3

Usamos a desigualdade triangular e as cotas acima:
|x^3+y^3+z^3|<= |x|^3+|y|^3+|z|^3<= r^3+r^3+r^3=3,r^3
Como o denominador é x^2+y^2+z^2=r^2, temos
|x^3+y^3+z^3x^2+y^2+z^2|<= 3,r^3r^2=3,r

Passo 4

Como 3rto0 quando rto0, pelo teorema do confronto concluímos que
x^3+y^3+z^3x^2+y^2+z^2to0
quando (x,y,z)to(0,0,0).

Resposta

0

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