Mostre que lim (x, y) (0,0) y^2x^2 não existe

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite da função f(x,y)=y^2x^2 quando (x,y)to(0,0) não existe. O assunto é limite de funções de duas variáveis e vamos usar a ideia de verificar se o valor de f(x,y) independe do caminho pelo qual nos aproximamos de (0,0).

Passo 2

Para funções de várias variáveis, uma forma de testar a existência do limite é verificar diferentes curvas de aproximação a (0,0). Se obtivermos valores distintos ao longo de duas curvas, o limite não existe.

Passo 3

Escolhemos a reta y= m x, com m constante, como curva de aproximação. Substituindo em f(x,y) temos: f(x,mx)=(m x)^2x^2=m^2. Ao levar xto0, esta expressão tende justamente a m^2.

Passo 4

Como o valor m^2 depende do parâmetro m, podemos escolher, por exemplo, m=0 e m=1 para obter limites diferentes (0 e 1, respectivamente). Isso mostra que o limite não é único, logo não existe.

Resposta

O limite lim(x,y)to(0,0)y^2x^2 não existe.

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