- Mostre que um campo vetorial no plano dado por
tem circulação nula para qualquer caminho.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos mostrar que, no plano, um campo vetorial dado por
(um campo potencial) tem circulação nula em qualquer caminho fechado. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais especificamente o teorema fundamental das integrais de linha.
Passo 2
Definição de circulação: a circulação de
ao longo de uma curva fechada
é dada por
. Nosso objetivo é provar que essa integral vale zero para todo
.
Passo 3
Aplicação do teorema fundamental das integrais de linha: seja
uma curva qualquer parametrizada por
,
, com
. Como
, temos
Passo 4
Conclusão para caminho fechado: em um caminho fechado aparece
, logo
Passo 5
Portanto, a circulação de
é zero para qualquer caminho fechado no plano.
Resposta
A circulação de um campo conservativo
ao longo de qualquer curva fechada
é zero, isto é,
.