1. Mostre que um campo vetorial no plano dado por F=nabla phi tem circulação nula para qualquer caminho.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que, no plano, um campo vetorial dado por vec F=nablaphi (um campo potencial) tem circulação nula em qualquer caminho fechado. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais especificamente o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Definição de circulação: a circulação de vec F ao longo de uma curva fechada C é dada por ointCvec Fcdot dvec r. Nosso objetivo é provar que essa integral vale zero para todo C.

Passo 3

Aplicação do teorema fundamental das integrais de linha: seja C uma curva qualquer parametrizada por vec r(t), tin[a,b], com vec r(a)=vec r(b). Como vec F=nablaphi, temos
integralCvec Fcdot dvec r=integrala^bnablaphi(vec r(t))cdotdvec rdt,dt=phi(vec r(b))-phi(vec r(a))

Passo 4

Conclusão para caminho fechado: em um caminho fechado aparece vec r(a)=vec r(b), logo
ointCvec Fcdot dvec r=phi(vec r(b))-phi(vec r(a))=0

Passo 5

Portanto, a circulação de vec F=nablaphi é zero para qualquer caminho fechado no plano.

Resposta

A circulação de um campo conservativo vec F=nablaphi ao longo de qualquer curva fechada C é zero, isto é, ointCvec Fcdot dvec r=0.

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