1.16 Faça o que se pede:
Encontre o comprimento da curva
r(t)=(t^3, 24 t, 6 t^2)
para t in[0,5].

Passo 1

O enunciado pede pra calcular o comprimento da curva parametrizada por r(t)=(t^3,24t,6t^2) no intervalo tin[0,5]. O conteúdo aqui é comprimento de curva em R^3, e vamos precisar da fórmula do arco de curva parametricamente definida.

Passo 2

Para qualquer curva r(t) com t numa faixa [a,b], o comprimento é dado por
L=integrala^b|r'(t)|,dt
onde r'(t) é a derivada vetorial e |r'(t)| seu módulo.

Passo 3

Vamos calcular primeiro r'(t):
r'(t)=l(3t^2,,24,,12tr)
Então o módulo é
|r'(t)|=raiz(3t^2)^2+24^2+(12t)^2= raiz9t^4+144t^2+144

Passo 4

O comprimento fica
L=integral0^5raiz9t^4+144t^2+144,dt =3integral0^5raizt^4+16t^2+16,dt
Essa integral não tem primitiva elementar simples, então usamos integração numérica (por exemplo, regra de Simpson com passo h=0,5 e n=10) e obtemos aproximadamente
Lapprox214,0

Resposta

Lapprox214,0

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