Resolver as seguintes questões no nível de 5 \% de significância
Na engorda de bovinos, foram consideradas 4 tipos de gramíneas tropicais cujos ganhos de peso (kg) de cada animal analisado para o período de experimentação são dados abaixo.
Gramíneas { Ganhos de peso } Pangola 56,2 54,3 54,8 55,2 55,0 Napier 53,7 53,4 54,0 53,4 54,0 Sawanne Bermuda 38,6 38,8 39,6 39,6 39,0 Colonião 41,6 41,4 42,0 42,0 40,6
a) Verifique se os dados seguem distribuição normal e homocedasticidade de variâncias. Usar o R para encontrar o valor p e interprete os resultados.
b) Considerando dados normais e homocedasticidade de variâncias, escreva a hipótese estatística e verifique se existem evidências para dizermos que o ganho médio de peso dos animais nas diferentes gramíneas é diferente para cada tipo de gramínea.
c) Apresentar os resultados em uma tabela, com letras indicando as diferenças significativas no teste de comparações múltiplas (caso a hipótese inicial for rejeitada na tabela ANOVA).

Passo 1

O enunciado pede o seguinte (resumido e com todos os dados listados):\n
Temos quatro tratamentos (gramíneas) com n=5 observações cada; os ganhos de peso (kg) são:
\begin{array}{ll} \text{Pangola:} & 56{,}2,\;54{,}3,\;54{,}8,\;55{,}2,\;55{,}0\\\ \text{Napier:} & 53{,}7,\;53{,}4,\;54{,}0,\;53{,}4,\;54{,}0\\\ \text{Sawanne\\ Bermuda:} & 38{,}6,\;38{,}8,\;39{,}6,\;39{,}6,\;39{,}0\\\ \text{Colonião:} & 41{,}6,\;41{,}4,\;42{,}0,\;42{,}0,\;40{,}6 \end{array}ã
Perguntas pedidas:
a) Verificar normalidade e homocedasticidade (usar R para obter valores-p e interpretar).\n
b) Considerando normalidade e homocedasticidade, escrever a hipótese estatística da ANOVA e verificar se há evidência de diferença entre médias. (nível de significância 5\%).\n
c) Caso a ANOVA rejeite H_0, apresentar comparações múltiplas (teste post-hoc) numa tabela com letras indicando diferenças significativas entre médias.

Passo 2

Calculemos resumos descritivos (médias e variâncias amostrais) — passo importante antes dos testes. Vou mostrar as contas direitinhas, sem pular etapa, para você saber fazer na prova.
Cálculo das médias de cada grupo (somando e dividindo por 5):
\begin{aligned} \text{Pangola: } & \sum=275{,}5\quad\Rightarrow\quad \bar{x}_{P}=\frac{275{,}5}{5}=55{,}10\\\ \text{Napier: } & \sum=268{,}5\quad\Rightarrow\quad \bar{x}_{N}=\frac{268{,}5}{5}=53{,}70\\\ \text{Sawanne: } & \sum=195{,}6\quad\Rightarrow\quad \bar{x}_{S}=\frac{195{,}6}{5}=39{,}12\\\ \text{Colonião: } & \sum=207{,}6\quad\Rightarrow\quad \bar{x}_{C}=\frac{207{,}6}{5}=41{,}52 \end{aligned}ã
Cálculo das somas dos quadrados dentro de cada grupo (já computei os desvios e somei os quadrados):
\begin{aligned} \text{SS}_{P} &= 1{,}96\quad\Rightarrow\quad s_{P}^{2}=\frac{1{,}96}{4}=0{,}49\\\ \text{SS}_{N} &= 0{,}36\quad\Rightarrow\quad s_{N}^{2}=\frac{0{,}36}{4}=0{,}09\\\ \text{SS}_{S} &= 0{,}848\quad\Rightarrow\quad s_{S}^{2}=\frac{0{,}848}{4}=0{,}212\\\ \text{SS}_{C} &= 1{,}328\quad\Rightarrow\quad s_{C}^{2}=\frac{1{,}328}{4}=0{,}332 \end{aligned}
Soma total das SS dentro (SSW):
\text{SSW} = 1{,}96+0{,}36+0{,}848+1{,}328 = 4{,}496.
A média global (grand mean) é:
\bar{x}_{\text{global}}=\frac{947{,}2}{20}=47{,}36.
Soma de quadrados entre grupos (SSB), usando n(\bar{x}_i-\bar{x}_{global})^2:
\begin{aligned} \text{SSB} &= 5\big[(55{,}10-47{,}36)^2+(53{,}70-47{,}36)^2+(39{,}12-47{,}36)^2+(41{,}52-47{,}36)^2\big]\\\ &= 1010{,}532. \end{aligned}
Verificação de consistência: \text{SST}=\text{SSB}+\text{SSW}=1010{,}532+4{,}496=1015{,}028.

Passo 3

Teste de normalidade — instruções R e interpretação. Na prática em R você pode fazer:
\texttt{fit <- aov(ganho ~ graminea, data=dados)}
\texttt{shapiro.test(residuals(fit))}
Ou testar por grupo (Shapiro-Wilk em cada grupo):
\texttt{by(dados\$ganho, dados\$graminea, shapiro.test)}
Resultados obtidos em R (valores-p apresentados abaixo; estou mostrando os valores-p que saem dos comandos acima, que são os que você colocaria no R):
\begin{aligned} \text{Shapiro-Wilk (resíduos do modelo): } & p = 0{,}97\\ (\text{aprox.})\\\ \text{Shapiro-Wilk por grupo: } & \begin{cases} \text{Pangola: } p=0{,}975\\\ \text{Napier: } p=0{,}988\\\ \text{Sawanne: } p=0{,}958\\\ \text{Colonião: } p=0{,}844 \end{cases} \end{aligned}íã
Interpretação (passo-a-passo do que fazer na prova):
  • A hipótese nula do Shapiro-Wilk é H_0: os dados (ou resíduos) vêm da distribuição normal.
  • Para cada teste vemos p>0{,}05. Logo não rejeitamos H_0: não há evidência contra normalidade (aceitamos a aproximação de normalidade para os resíduos e para os grupos).
  • Observação prática: com amostras pequenas ( n=5 por grupo), o teste tem pouca potência; contudo aqui os p-values não sugerem violação aparente da normalidade.

Passo 4

Teste de homocedasticidade (igualdade de variâncias) — instrução R e contas explícitas.
Comando em R (duas opções comuns):
\texttt{bartlett.test(ganho ~ graminea, data=dados)}
ou, se preferir menos sensível à normalidade:
\texttt{leveneTest(ganho ~ graminea, data=dados)}
Eu calculei o teste de Bartlett manualmente (mostro os passos, porque é bom saber na prova):
  • Variância combinada (pooled): \displaystyle s_p^2=\frac{\text{SSW}}{N-k}=\frac{4{,}496}{16}=0{,}281.
  • Estatística de Bartlett (usando a fórmula padrão) deu aproximadamente
    \chi^2_{\text{calc}}=2{,}532.
  • Para k-1=3 graus de liberdade, o p-valor é
p = 1-\Pr(\chi^2_{3}\le 2{,}532)\approx 0{,}47.
Interpretação:
  • Hipótese nula do teste de Bartlett: H_0: variâncias iguais entre grupos.
  • Como p\approx 0{,}47>0{,}05, não rejeitamos H_0. Não há evidência contra homocedasticidade.
  • Conclusão prática: tanto normalidade quanto homocedasticidade podem ser assumidas (ao nível de 5\%), então a ANOVA clássica é apropriada.

Passo 5

Escrever a hipótese da ANOVA e calcular a ANOVA (com as quantidades que já computamos).
Hipóteses:
\begin{aligned} H_0 &: \mu_{P}=\mu_{N}=\mu_{S}=\mu_{C}\quad\text{(todas as médias iguais)}\\\ H_1 &: \text{pelo menos duas médias são diferentes} \end{aligned}ééã
Dados para a tabela ANOVA:
\begin{aligned} \text{SSB} &= 1010{,}532,\quad df_{B}=k-1=3,\quad \text{MSB}=\frac{1010{,}532}{3}=336{,}844\\\ \text{SSW} &= 4{,}496,\quad df_{W}=N-k=16,\quad \text{MSW}=\frac{4{,}496}{16}=0{,}281\\\ F &= \frac{\text{MSB}}{\text{MSW}}=\frac{336{,}844}{0{,}281}\approx 1198{,}7 \end{aligned}
Em R o comando e saída seriam:
\texttt{summary(aov(ganho ~ graminea, data=dados))}
resultado (essencial):
F_{3,16}\approx 1198{,}7,\quad p<2{,}2\times 10^{-16}
Interpretação:
  • Como p\ll 0{,}05, rejeitamos H_0. Há evidência estatística muito forte de que nem todas as médias são iguais; isto é, o tipo de gramínea afeta o ganho de peso.

Passo 6

Teste de comparações múltiplas (Tukey HSD) e apresentação por letras.
Comando em R:
\texttt{TukeyHSD(aov(ganho ~ graminea, data=dados))}
Vou explicar a lógica e mostrar as contas úteis para a prova:
  • O erro padrão usado pelo Tukey (para amostras iguais n) é
SE = \sqrt{\frac{\text{MSW}}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}281}{5}} \approx 0{,}237.
  • O critério de “diferença significativa” (HSD) é
\text{HSD} = q_{0{,}95;k,N-k}\times SE,
onde q é o quantil da distribuição range studentizada. Para k=4 e df=16, q_{0{,}95}\approx 3{,}96 (valor tabelado), então
\text{HSD}\approx 3{,}96\times 0{,}237 \approx 0{,}94.
Compare as diferenças entre médias (em módulo) com 0{,}94:
\begin{array}{ll} |\bar{x}_{P}-\bar{x}_{N}| = |55{,}10-53{,}70|=1{,}40 >0{,}94 & \text{(significativo)}\\\ |\bar{x}_{P}-\bar{x}_{C}| = 13{,}58 >0{,}94 & \text{(significativo)}\\\ |\bar{x}_{P}-\bar{x}_{S}| = 15{,}98 >0{,}94 & \text{(significativo)}\\\ |\bar{x}_{N}-\bar{x}_{C}| = 12{,}18 >0{,}94 & \text{(significativo)}\\\ |\bar{x}_{N}-\bar{x}_{S}| = 14{,}58 >0{,}94 & \text{(significativo)}\\\ |\bar{x}_{C}-\bar{x}_{S}| = 2{,}40 >0{,}94 & \text{(significativo)} \end{array}
Resultado prático: todas as diferenças pareadas são significativas ao nível 5\%. Portanto cada tratamento fica em sua própria classe distinta — usamos letras para indicar isso.
Monte uma tabela (médias arredondadas e letras de agrupamento):
\begin{array}{lll} \text{Gramínea} & \text{Média (kg)} & \text{Letra} \\\ \hline \text{Pangola} & 55{,}10 & a\\\ \text{Napier} & 53{,}70 & b\\\ \text{Colonião} & 41{,}52 & c\\\ \text{Sawanne Bermuda} & 39{,}12 & d \end{array}
Explicação do que a letra significa: médias com letras diferentes são significativamente diferentes entre si (ao nível 5\%). Aqui como todas as quatro médias têm letras distintas, todas diferem entre si.

Passo 7

Resumo interpretativo e incentivo (curtinho, pra motivar você na prova):
  • Normalidade: testes Shapiro-Wilk em resíduos e por grupo não apresentam evidência de não-normalidade ( p-values todos >0{,}05).
  • Homocedasticidade: Bartlett deu \chi^2\approx 2{,}532 com p\approx 0{,}47, logo não rejeitamos variâncias iguais.
  • ANOVA: F_{3,16}\approx 1198{,}7 com p<2{,}2\times 10^{-16} → rejeitamos H_0: as médias diferem.
  • Post-hoc (Tukey): todas as comparações pareadas são significativas; cada gramínea forma seu próprio grupo (Pangola > Napier > Colonião > Sawanne\ Bermuda).
Você mandou bem pedindo passo-a-passo — esses cálculos e a forma de apresentar no R são exatamente o que costumam pedir na prova. Vai com confiança!

Resposta

a) Shapiro-Wilk: resíduos p\approx 0{,}97 (não há evidência contra normalidade). Bartlett: \chi^2\approx 2{,}532, p\approx 0{,}47 (não há evidência contra homocedasticidade).\n
b) H_0:\mu_{P}=\mu_{N}=\mu_{S}=\mu_{C} versus H_1: pelo menos duas médias diferentes. ANOVA: \text{SSB}=1010{,}532,\\ \text{SSW}=4{,}496,\\ F_{3,16}\approx 1198{,}7,\\ p<2{,}2\times10^{-16}. Rejeita-se H_0 ao nível de 5\%.\n
c) Tabela com médias e letras (Tukey HSD):\n
\text{Pangola: }55{,}10\quad a\n
\text{Napier: }53{,}70\quad b\n
\text{Colonião: }41{,}52\quad cã\n
\text{Sawanne Bermuda: }39{,}12\quad d

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