Ex 5. (Resolva utilizando o R) Um estudo foi realizado com 34 homens sorteados aleatoriamente entre os pacientes de um hospital com idade entre 24 a 34 anos com o objetivo de avaliar os níveis séricos de colesterol (miligramas/100 ml). Deseja-se verificar se o nível médio de colesterol dos homens nesta idade pode ser considerado diferente de
. A amostra analisada apresentou os seguintes resultados:
Níveis de colesterol dos homens com idade entre 24 a 34 anos
80
100
115
121
158
170
235
225
209
211
215
215
161
165
180
188
180
208
206
201
110
120
215
216
165
178
175
176
180
166
176
185
184
205
a) Escreva a hipótese estatística.
b) Verifique se os dados tem distribuição normal e faça o teste apropriado com nível de significância de
(apresente o valor p ). Quais as conclusões deste estudo, baseado no resultado do valor p ?
| Níveis de colesterol dos homens com idade entre 24 a 34 anos | |||||||||||
| 80 | 100 | 115 | 121 | 158 | 170 | 235 | 225 | 209 | 211 | 215 | 215 |
| 161 | 165 | 180 | 188 | 180 | 208 | 206 | 201 | 110 | 120 | 215 | 216 |
| 165 | 178 | 175 | 176 | 180 | 166 | 176 | 185 | 184 | 205 | ||
b) Verifique se os dados tem distribuição normal e faça o teste apropriado com nível de significância de
Passo 1
O problema pede duas coisas claras:
- (a) Escrever as hipóteses estatísticas sobre o nível médio de colesterol.
- (b) Verificar se os dados seguem distribuição normal e, com nível de significância de
, aplicar o teste apropriado para decidir se o nível médio de colesterol dos homens entre 24 e 34 anos é diferente de . É necessário apresentar o valor e tirar conclusões a partir dele.
Informações dadas (retirei os dados da tabela do enunciado):
número total de observações:
.
Passo 2
(a) Hipóteses estatísticas — escrever claramente o que será testado:
Aqui
é a média populacional do nível sérico de colesterol dos homens entre 24 e 34 anos. O teste é bilateral pois queremos verificar se a média é diferente de
.
Passo 3
Entrando com os dados no R (mostro como fazer; os números abaixo foram copiados da tabela):
x <- c( ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
)
x <- c(
Para verificar normalidade use o teste de Shapiro–Wilk (comum e apropriado para
pequeno a moderado):
shapiro.test(x)
shapiro.test(x)
Explicação do teste de Shapiro–Wilk (aula rápida, sem jargões): o teste calcula uma estatística
que mede o quanto a amostra se aproxima de uma normal. A hipótese nula é que os dados vêm de uma distribuição normal. Se o
-valor for pequeno (menor que o nível de significância), rejeitamos a normalidade. Caso contrário, não rejeitamos e podemos usar testes paramétricos como o teste
.
Resultado (valores obtidos executando os comandos em R):
Shapiro–Wilk normality test
,
.
Shapiro–Wilk normality test
Interpretação: com
e nível de significância
, temos
; logo não rejeitamos
do Shapiro–Wilk. Ou seja, não há evidência suficiente para afirmar que os dados não são normais; podemos tratar os dados como aproximadamente normais e usar o teste
amostral.
Passo 4
Agora aplicamos o teste apropriado: como a normalidade não foi rejeitada e queremos testar a média contra
, usamos o teste t de uma amostra (teste t bilateral).
No R, o comando é:
t.test(x, mu = , alternative = “two.sided”)
t.test(x, mu =
Antes de apresentar o
-valor do R, explico a fórmula usada no teste t (aula curta e prática):
A estatística do teste é
A estatística do teste é
onde
é a média amostral,
é o valor hipotetizado (aqui
),
é o desvio padrão amostral e
o tamanho da amostra. Essa estatística segue a distribuição
com
graus de liberdade sob
.
Cálculo numérico (mostro passo a passo para você saber fazer na prova sem R):
- Soma das observações:
. - Média amostral:
- Soma dos quadrados das observações:
(usei os quadrados direto como somatório). - Variância amostral (sem viés):
portanto
- Erro padrão da média:
- Estatística
:
Graus de liberdade:
.
Passo 5
Valor-
do teste t (saída do R usando o comando acima):
(teste bilateral, com
e
).
Interpretação final (como decidir na prova): com nível de significância
comparamos
com
.
- Para o teste de normalidade de Shapiro–Wilk obtivemos
→ não rejeitamos a normalidade (podemos usar o teste t). - Para o teste
de hipótese sobre a média obtivemos → rejeitamos .
Conclusão prática e amigável: há evidência estatística, ao nível de
, de que a média do nível de colesterol dos homens nessa faixa etária é diferente de
. Observando a média amostral
, a diferença é para um valor menor do que
(ou seja, a média populacional parece ser significativamente menor que
).
Resposta
(a)
\newline
\newline
(b) Shapiro–Wilk: (não rejeita normalidade ao nível
).\newline
Teste (uma amostra, bilateral):
. Conclusão: rejeita-se
ao nível de
; a média populacional difere de
(e, pela média amostral, é menor).
(b) Shapiro–Wilk:
Teste