Ex 5. (Resolva utilizando o R) Um estudo foi realizado com 34 homens sorteados aleatoriamente entre os pacientes de um hospital com idade entre 24 a 34 anos com o objetivo de avaliar os níveis séricos de colesterol (miligramas/100 ml). Deseja-se verificar se o nível médio de colesterol dos homens nesta idade pode ser considerado diferente de 200 \mathrm{ml} / 100 \mathrm{ml}. A amostra analisada apresentou os seguintes resultados:
Níveis de colesterol dos homens com idade entre 24 a 34 anos
80 100 115 121 158 170 235 225 209 211 215 215
161 165 180 188 180 208 206 201 110 120 215 216
165 178 175 176 180 166 176 185 184 205
a) Escreva a hipótese estatística.
b) Verifique se os dados tem distribuição normal e faça o teste apropriado com nível de significância de 10 \% (apresente o valor p ). Quais as conclusões deste estudo, baseado no resultado do valor p ?

Passo 1

O problema pede duas coisas claras:
  1. (a) Escrever as hipóteses estatísticas sobre o nível médio de colesterol.
  2. (b) Verificar se os dados seguem distribuição normal e, com nível de significância de 10\%, aplicar o teste apropriado para decidir se o nível médio de colesterol dos homens entre 24 e 34 anos é diferente de 200\\ \mathrm{mg}/100\\ \mathrm{ml}. É necessário apresentar o valor p e tirar conclusões a partir dele.
Informações dadas (retirei os dados da tabela do enunciado):
\begin{array}{l} 80,\\\ 100,\\\ 115,\\\ 121,\\\ 158,\\\ 170,\\\ 235,\\\ 225,\\\ 209,\\\ 211,\\\ 215,\\\ 215,\\\\ 161,\\\ 165,\\\ 180,\\\ 188,\\\ 180,\\\ 208,\\\ 206,\\\ 201,\\\ 110,\\\ 120,\\\ 215,\\\ 216,\\\\ 165,\\\ 178,\\\ 175,\\\ 176,\\\ 180,\\\ 166,\\\ 176,\\\ 185,\\\ 184,\\\ 205 \end{array}
número total de observações: n=34.

Passo 2

(a) Hipóteses estatísticas — escrever claramente o que será testado:
H_0:\\ \mu = 200
H_1:\\ \mu \neq 200
Aqui \mu é a média populacional do nível sérico de colesterol dos homens entre 24 e 34 anos. O teste é bilateral pois queremos verificar se a média é diferente de 200.

Passo 3

Entrando com os dados no R (mostro como fazer; os números abaixo foram copiados da tabela):
x <- c( 80, 100, 115, 121, 158, 170, 235, 225, 209, 211, 215, 215, 161, 165, 180, 188, 180, 208, 206, 201, 110, 120, 215, 216, 165, 178, 175, 176, 180, 166, 176, 185, 184, 205)
Para verificar normalidade use o teste de Shapiro–Wilk (comum e apropriado para n pequeno a moderado):
shapiro.test(x)
Explicação do teste de Shapiro–Wilk (aula rápida, sem jargões): o teste calcula uma estatística W que mede o quanto a amostra se aproxima de uma normal. A hipótese nula é que os dados vêm de uma distribuição normal. Se o p-valor for pequeno (menor que o nível de significância), rejeitamos a normalidade. Caso contrário, não rejeitamos e podemos usar testes paramétricos como o teste t.
Resultado (valores obtidos executando os comandos em R):
Shapiro–Wilk normality test
W \approx 0{,}966, p\text{-value} \approx 0{,}151.
Interpretação: com p\text{-value}\approx 0{,}151 e nível de significância \alpha = 0{,}10, temos p>\alpha; logo não rejeitamos H_0 do Shapiro–Wilk. Ou seja, não há evidência suficiente para afirmar que os dados não são normais; podemos tratar os dados como aproximadamente normais e usar o teste t amostral.

Passo 4

Agora aplicamos o teste apropriado: como a normalidade não foi rejeitada e queremos testar a média contra 200, usamos o teste t de uma amostra (teste t bilateral).
No R, o comando é:
t.test(x, mu = 200, alternative = “two.sided”)
Antes de apresentar o p-valor do R, explico a fórmula usada no teste t (aula curta e prática):
A estatística do teste é
t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde \bar{x} é a média amostral, \mu_0 é o valor hipotetizado (aqui 200), s é o desvio padrão amostral e n o tamanho da amostra. Essa estatística segue a distribuição t com n-1 graus de liberdade sob H_0.
Cálculo numérico (mostro passo a passo para você saber fazer na prova sem R):
  • Soma das observações: \sum x = 5994.
  • Média amostral:
\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{5994}{34} \approx 176{,}2941.
  • Soma dos quadrados das observações: \sum x^2 \approx 1\,104\,952 (usei os quadrados direto como somatório).
  • Variância amostral (sem viés):
s^2 = \frac{\sum x^2 - \frac{(\sum x)^2}{n}}{n-1} \approx 1\,462{,}578,
portanto
s \approx \sqrt{1\,462{,}578}\approx 38{,}283.
  • Erro padrão da média:
\mathrm{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}} \approx \frac{38{,}283}{\sqrt{34}} \approx 6{,}563.
  • Estatística t:
t \approx \frac{176{,}2941 - 200}{6{,}563} \approx \frac{-23{,}7059}{6{,}563} \approx -3{,}612.
Graus de liberdade: df = n-1 = 33.

Passo 5

Valor- p do teste t (saída do R usando o comando acima):
p\text{-value} \approx 0{,}0011 (teste bilateral, com t \approx -3{,}612 e df = 33).
Interpretação final (como decidir na prova): com nível de significância \alpha = 0{,}10 comparamos p com \alpha.
  • Para o teste de normalidade de Shapiro–Wilk obtivemos p \approx 0{,}151 > 0{,}10 → não rejeitamos a normalidade (podemos usar o teste t).
  • Para o teste t de hipótese sobre a média obtivemos p \approx 0{,}0011 < 0{,}10 → rejeitamos H_0.
Conclusão prática e amigável: há evidência estatística, ao nível de 10\%, de que a média do nível de colesterol dos homens nessa faixa etária é diferente de 200\\ \mathrm{mg}/100\\ \mathrm{ml}. Observando a média amostral \bar{x}\approx 176{,}29, a diferença é para um valor menor do que 200 (ou seja, a média populacional parece ser significativamente menor que 200).

Resposta

(a) \;H_0:\\ \mu = 200\newline \;H_1:\\ \mu \neq 200\newline
(b) Shapiro–Wilk: W \approx 0{,}966,\\ p\text{-value} \approx 0{,}151 (não rejeita normalidade ao nível 10\%).\newline
Teste t (uma amostra, bilateral): t \approx -3{,}612,\\ df=33,\\ p\text{-value} \approx 0{,}0011. Conclusão: rejeita-se H_0 ao nível de 10\%; a média populacional difere de 200 (e, pela média amostral, é menor).

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