- 6-15. O comprimento de onda da luz emitida por um laser de rubi é
. Supondo que a emissão de um fóton deste comprimento de onda esteja associada à transição de um elétron do nível
para o nível
de um poço quadrado infinito, determine a largura
do poço.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que ele pede:
- Dado: o comprimento de onda da luz emitida é
. - Dado: a emissão de um fóton dessa luz corresponde à transição de um elétron do nível
para num poço quadrado infinito unidimensional. - Pedido: determinar a largura
do poço (ou seja, a distância entre as paredes do poço).
Informações úteis que vamos precisar (constantes físicas):
- Constante de Planck
. - Velocidade da luz
. - Massa do elétron
.
(Não é necessário conhecer outras coisas do enunciado.)
Passo 2
Energia do fóton associado ao comprimento de onda: conceito e fórmula.
Explicando devagar: um fóton com comprimento de onda
carrega energia dada por
Aqui:
-
é a constante de Planck (unidade: ), -
é a velocidade da luz no vácuo (unidade: ), -
é o comprimento de onda (unidade: ), -
fica em joules ( ).
No caso do problema, essa energia do fóton é exatamente a diferença de energia entre os níveis
e
do elétron preso no poço:
Passo 3
Energia dos níveis de um elétron num poço quadrado infinito: derivação e explicação do que cada símbolo significa.
Resumo físico simples: num poço infinito de largura
(paredes a
e
), as soluções permitidas para a função de onda formam ondas estacionárias com comprimentos de onda que cabem um número inteiro de meia-ondas no poço. Isso leva a valores quantizados de energia dados por
onde:
-
é a energia do n-ésimo estado (em ), -
é a constante de Planck, -
é a massa da partícula (aqui, a massa do elétron), -
é a largura do poço (o que queremos achar), -
é um inteiro positivo ( ).
Observação rápida de onde vem essa fórmula (sem entrar em PDEs): usando
e
, tem-se
. Substituindo
e
chega-se à forma indicada acima.
Passo 4
Calcular a diferença de energia
em termos de
.
Usando a fórmula de
:
Logo
Passo 5
Igualar
à energia do fóton e isolar
.
Temos
Isolando
:
Portanto
Aqui cada símbolo já foi explicado:
,
(comprimento de onda dado),
(massa do elétron),
(velocidade da luz).
Passo 6
Substituir números e calcular numericamente (atenção às unidades).
Valores numéricos (usar unidades SI):
Substituindo em
:
Fazendo as contas (mostrando o resultado aproximado):
Passo 7
Interpretação rápida e palavra amiga.
- O resultado indica que a largura do poço seria da ordem de
, ou seja, fração de nanômetro — escala atômica/mesoscópica, razoável para um “poço” que prende elétrons. - Força: na prova, siga sempre os mesmos passos: converter
para metros, escrever a energia do fóton , escrever entre níveis do poço, igualar e isolar . Vai dar certo — calma que você consegue!