1. 6-15. O comprimento de onda da luz emitida por um laser de rubi é 694,3 \mathrm{~nm}. Supondo que a emissão de um fóton deste comprimento de onda esteja associada à transição de um elétron do nível n=2 para o nível n=1 de um poço quadrado infinito, determine a largura L do poço.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede:
  • Dado: o comprimento de onda da luz emitida é \lambda = 694{,}3\\ \mathrm{nm}.
  • Dado: a emissão de um fóton dessa luz corresponde à transição de um elétron do nível n=2 para n=1 num poço quadrado infinito unidimensional.
  • Pedido: determinar a largura L do poço (ou seja, a distância entre as paredes do poço).
Informações úteis que vamos precisar (constantes físicas):
  • Constante de Planck h.
  • Velocidade da luz c.
  • Massa do elétron m.
    (Não é necessário conhecer outras coisas do enunciado.)

Passo 2

Energia do fóton associado ao comprimento de onda: conceito e fórmula.
Explicando devagar: um fóton com comprimento de onda \lambda carrega energia dada por
E_{\text{fóton}} = \frac{h c}{\lambda}.ó
Aqui:
  • h é a constante de Planck (unidade: \mathrm{J\cdot s}),
  • c é a velocidade da luz no vácuo (unidade: \mathrm{m/s}),
  • \lambda é o comprimento de onda (unidade: \mathrm{m}),
  • E_{\text{fóton}}ó fica em joules ( \mathrm{J}).
No caso do problema, essa energia do fóton é exatamente a diferença de energia entre os níveis n=2 e n=1 do elétron preso no poço:
\Delta E = E_2 - E_1 = E_{\text{fóton}}.ó

Passo 3

Energia dos níveis de um elétron num poço quadrado infinito: derivação e explicação do que cada símbolo significa.
Resumo físico simples: num poço infinito de largura L (paredes a x=0 e x=L), as soluções permitidas para a função de onda formam ondas estacionárias com comprimentos de onda que cabem um número inteiro de meia-ondas no poço. Isso leva a valores quantizados de energia dados por
E_n = \frac{h^2 n^2}{8 m L^2},
onde:
  • E_n é a energia do n-ésimo estado (em \mathrm{J}),
  • h é a constante de Planck,
  • m é a massa da partícula (aqui, a massa do elétron),
  • L é a largura do poço (o que queremos achar),
  • n é um inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots).
Observação rápida de onde vem essa fórmula (sem entrar em PDEs): usando \hbar = h/(2\pi) e k_n = n\pi/L, tem-se E_n = \hbar^2 k_n^2/(2m). Substituindo \hbar e k_n chega-se à forma indicada acima.

Passo 4

Calcular a diferença de energia \Delta E = E_2 - E_1 em termos de L.
Usando a fórmula de E_n:
E_2 = \frac{h^2 2^2}{8 m L^2}=\frac{4 h^2}{8 m L^2}=\frac{h^2}{2 m L^2},
E_1 = \frac{h^2 1^2}{8 m L^2}=\frac{h^2}{8 m L^2}.
Logo
\Delta E = E_2-E_1 = \frac{h^2}{2 m L^2}-\frac{h^2}{8 m L^2}=\frac{3 h^2}{8 m L^2}.

Passo 5

Igualar \Delta E à energia do fóton e isolar L.
Temos
\frac{3 h^2}{8 m L^2} = \frac{h c}{\lambda}.
Isolando L^2:
L^2 = \frac{3 h^2}{8 m}\cdot\frac{\lambda}{h c} = \frac{3 h \lambda}{8 m c}.
Portanto
L = \sqrt{\frac{3 h \lambda}{8 m c}}.
Aqui cada símbolo já foi explicado: h, \lambda (comprimento de onda dado), m (massa do elétron), c (velocidade da luz).

Passo 6

Substituir números e calcular numericamente (atenção às unidades).
Valores numéricos (usar unidades SI):
h = 6{,}62607015\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
c = 2{,}99792458\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s},
m = 9{,}10938356\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg},
\lambda = 694{,}3\\ \mathrm{nm} = 694{,}3\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
Substituindo em \displaystyle L = \sqrt{\frac{3 h \lambda}{8 m c}}:
L = \sqrt{\frac{3\cdot(6{,}62607015\times10^{-34})\cdot(694{,}3\times10^{-9})}{8\cdot(9{,}10938356\times10^{-31})\cdot(2{,}99792458\times10^{8})}}.
Fazendo as contas (mostrando o resultado aproximado):
L \approx 7{,}95\times10^{-10}\\ \mathrm{m} = 0{,}795\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Interpretação rápida e palavra amiga.
  • O resultado indica que a largura do poço seria da ordem de 10^{-10}\\ \mathrm{m}, ou seja, fração de nanômetro — escala atômica/mesoscópica, razoável para um “poço” que prende elétrons.
  • Força: na prova, siga sempre os mesmos passos: converter \lambda para metros, escrever a energia do fóton hc/\lambda, escrever \Delta E entre níveis do poço, igualar e isolar L. Vai dar certo — calma que você consegue!

Resposta

L \approx 7{,}95\times10^{-10}\\ \mathrm{m} = 0{,}795\\ \mathrm{nm}

Exercícios relacionados