15.4 Se o produto interno entre duas funções complexas de uma variável real no intervalo fechado [1,2] for definido como
\langle f, g\rangle=\int_{1}^{2} f^{*}(x) g(x) w(x) \mathrm{d} x
com w(x)=\ln (x), calcule \left\langle x, x^{2}\right\rangle.

Passo 1

O enunciado define o produto interno
\langle f,g\rangle = \int_{1}^{2} f^{*}(x)\,g(x)\,w(x)\,\mathrm{d}x
com w(x)=\ln(x), e pede \langle x,x^{2}\rangle. Vamos integrar funções reais, sem conjugação.

Passo 2

Substituindo f(x)=x e g(x)=x^{2}, obtemos
\langle x,x^{2}\rangle = \int_{1}^{2} x\cdot x^{2}\cdot \ln(x)\,\mathrm{d}x = \int_{1}^{2} x^{3}\ln(x)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Para calcular \int x^{3}\ln(x)\,\mathrm{d}x, usamos integração por partes com
u = \ln(x),\quad \mathrm{d}v = x^{3}\,\mathrm{d}x
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\mathrm{d}u = \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x,\quad v = \frac{x^{4}}{4}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
\int x^{3}\ln(x)\,\mathrm{d}x = \frac{x^{4}}{4}\ln(x) - \int \frac{x^{4}}{4}\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{4}}{4}\ln(x) - \frac{1}{4}\int x^{3}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{4}}{4}\ln(x) - \frac{x^{4}}{16} + C.

Passo 5

Avaliamo de 1 a 2:
\Bigl[\frac{x^{4}}{4}\ln(x) - \frac{x^{4}}{16}\Bigr]_{1}^{2} = \bigl(4\ln(2) - 1\bigr) - \bigl(0 - \tfrac{1}{16}\bigr) = 4\ln(2) - 1 + \tfrac{1}{16} = 4\ln(2) - \tfrac{15}{16}.

Resposta

\langle x,x^{2}\rangle = 4\ln(2) - \frac{15}{16}.

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