15.5 Seja \mathbb{V} o conjunto das funções f(x) complexas de uma variável independente x real, tais que a integral
\int_{-L / 2}^{+L / 2}|f(x)|^{2} w(x) \mathrm{d} x
existe, com
w(x)=\cos \frac{\pi x}{L} \geq 0 \quad \text { em }-L / 2 \leq x \leq+L / 2
Se f(x), g(x) \in \mathbb{V}, mostre que
\langle f(x), g(x)\rangle \equiv \int_{-L / 2}^{+L / 2} f^{*}(x) g(x) w(x) \mathrm{d} x
é um produto interno legítimo.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial \mathbb{V} das funções complexas f(x) em [-L/2,L/2] tais que
\int_{-L/2}^{+L/2}|f(x)|^{2}\,w(x)\,\mathrm{d}x<\infty,
com peso
w(x)=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi x}{L}\bigr)\ge0\quad\text{em }[-L/2,L/2].
Para f,g\in\mathbb{V} define-se
\langle f,g\rangle\equiv\int_{-L/2}^{+L/2}f^{*}(x)\,g(x)\,w(x)\,\mathrm{d}x.
Queremos mostrar que \langle\cdot,\cdot\rangle satisfaz as três propriedades de um produto interno num espaço complexo.

Passo 2

Precisamos verificar conjugação simétrica e linearidade em g:
1. Conjugação simétrica
\langle f,g\rangle^{*} =\biggl(\int_{-L/2}^{+L/2}f^{*}(x)\,g(x)\,w(x)\,\mathrm{d}x\biggr)^{*} =\int_{-L/2}^{+L/2}g^{*}(x)\,f(x)\,w(x)\,\mathrm{d}x =\langle g,f\rangle.
2. Linearidade em g
Para quaisquer escalares a,b\in\mathbb{C} e funções g,h\in\mathbb{V} vale
\langle f,\,a\,g+b\,h\rangle =\int_{-L/2}^{+L/2}f^{*}(x)\bigl(a\,g(x)+b\,h(x)\bigr)w(x)\,\mathrm{d}x =a\,\langle f,g\rangle+b\,\langle f,h\rangle.

Passo 3

Resta a positividade definida:
\langle f,f\rangle =\int_{-L/2}^{+L/2}|f(x)|^{2}\,w(x)\,\mathrm{d}x\;\ge0
porque w(x)\ge0 e |f(x)|^2\ge0. Se \langle f,f\rangle=0, então |f(x)|^2w(x)=0 quase em todo ponto de [-L/2,L/2], o que implica f(x)=0 quase sempre (peso nulo só em pontos isolados). Assim f é a função zero em \mathbb{V}.

Resposta

O funcional \langle f,g\rangle satisfaz conjugação simétrica, linearidade em g e positividade definida, logo é um produto interno legítimo em \mathbb{V}.

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