15.5 Seja
o conjunto das funções
complexas de uma variável independente
real, tais que a integral
existe, com
Se
, mostre que
é um produto interno legítimo.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
das funções complexas
em
tais que
com peso
Para
define-se
Queremos mostrar que
satisfaz as três propriedades de um produto interno num espaço complexo.
Passo 2
Precisamos verificar conjugação simétrica e linearidade em
:
1. Conjugação simétrica
2. Linearidade em
Para quaisquer escalares e funções
vale
Para quaisquer escalares
Passo 3
Resta a positividade definida:
porque
e
. Se
, então
quase em todo ponto de
, o que implica
quase sempre (peso nulo só em pontos isolados). Assim
é a função zero em
.
Resposta
O funcional
satisfaz conjugação simétrica, linearidade em
e positividade definida, logo é um produto interno legítimo em
.