-3 Sejam
reais positivos. Prove que
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para
, vale a desigualdade
O conteúdo aqui é manipular expressões algébricas e aplicar a desigualdade de médias aritmética e geométrica (AM–GM).
Passo 2
Começamos reescrevendo o cubo da soma:
Logo
Passo 3
Para mostrar
usamos a desigualdade AM–GM em dois casos:
Aplicando AM–GM a temos
Aplicando AM–GM a
isto é,
Passo 4
De modo análogo, aplicando AM–GM a
obtemos
Somando as duas desigualdades:
que é justamente o que precisávamos.
Resposta
A desigualdade
é verdadeira para todos
.