-3 Sejam a e b reais positivos. Prove que
4\left(a^{3}+b^{3}\right) \geqslant(a+b)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para a,b>0, vale a desigualdade
4\bigl(a^{3}+b^{3}\bigr)\ge (a+b)^{3}.
O conteúdo aqui é manipular expressões algébricas e aplicar a desigualdade de médias aritmética e geométrica (AM–GM).

Passo 2

Começamos reescrevendo o cubo da soma:
(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b).
Logo
4\bigl(a^{3}+b^{3}\bigr)\ge (a+b)^{3} \iff 4\bigl(a^{3}+b^{3}\bigr)\ge a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)
\iff 3\bigl(a^{3}+b^{3}\bigr)\ge 3\,ab(a+b) \iff a^{3}+b^{3}\ge ab\,(a+b).

Passo 3

Para mostrar a^{3}+b^{3}\ge ab\,(a+b) usamos a desigualdade AM–GM em dois casos:
Aplicando AM–GM a a^{3},a^{3},b^{3} temos
a^{3}+a^{3}+b^{3}\ge 3\sqrt[3]{a^{3}\cdot a^{3}\cdot b^{3}} =3\,a^{2}b,
isto é,
2a^{3}+b^{3}\ge 3a^{2}b.

Passo 4

De modo análogo, aplicando AM–GM a a^{3},b^{3},b^{3} obtemos
a^{3}+2b^{3}\ge 3ab^{2}.
Somando as duas desigualdades:
(2a^{3}+b^{3})+(a^{3}+2b^{3}) \ge 3a^{2}b+3ab^{2}
\iff 3\bigl(a^{3}+b^{3}\bigr)\ge 3ab(a+b) \iff a^{3}+b^{3}\ge ab\,(a+b),
que é justamente o que precisávamos.

Resposta

A desigualdade
4\bigl(a^{3}+b^{3}\bigr)\ge (a+b)^{3}
é verdadeira para todos a,b>0.

Exercícios relacionados