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Considere a função f(x, y)=x^2+y^2+1.
(a) Determine o domínio e o conjunto imagem de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} + 1 $. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas: o domínio da função e o conjunto imagem dela. Basicamente, o domínio diz quais valores de $ x $ e $ y $ podemos colocar na função, e o conjunto imagem mostra todos os possíveis resultados que a função pode dar.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, $ x $ e $ y $) para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} + 1 $, percebemos que estamos somando quadrados de $ x $ e $ y $, que sempre dão valores positivos ou zero, e depois somando 1. Não tem nenhuma divisão por zero, raiz de número negativo ou qualquer outra coisa que poderia limitar os valores de $ x $ e $ y $. Então, $ x $ e $ y $ podem ser qualquer número real.

Passo 3

Agora, vamos para o conjunto imagem. Isso significa todos os possíveis valores que $ f(x, y) $ pode assumir. Olhando de novo para $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} + 1 $:
  1. Sabemos que $ x^{2} $ e $ y^{2} $ são sempre maiores ou iguais a zero, porque ao quadrarmos qualquer número real, o resultado não pode ser negativo.
  2. Então, $ x^{2} + y^{2} $ também será sempre maior ou igual a zero.
  3. Quando somamos 1, temos $ x^{2} + y^{2} + 1 $, que será sempre maior ou igual a 1.
Isso significa que a menor valor que $ f(x, y) $ pode ter é 1, e ele pode crescer até o infinito conforme $ x $ e $ y $ aumentam.

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais para $ x $ e $ y $, ou seja, $ \mathbb{R} \times \mathbb{R} $.
  • Conjunto Imagem: Todos os números reais maiores ou iguais a 1, ou seja, $ [1, +\infty) $.

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