Se
F(s)=L[f(t)]
então,
L[f(lambda t)]=1lambda F(slambda)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade de escala da transformada de Laplace: dado que F(s)=L[f(t)], provar que L[f(lambda t)]=tfrac1lambda,Fl(tfrac slambdar). Vamos usar a definição da transformada de Laplace e uma troca de variável.

Passo 2

Começamos pela definição da transformada de Laplace de f(lambda t):
L[f(lambda t)] =integral0^inftye^-s t,f(lambda t),dt

Passo 3

Para facilitar, fazemos a mudança de variável
u=lambda tLongrightarrow t=nulambda, dt=dnulambda
Quando t vai de 0 a infty, nu também vai de 0 a infty.

Passo 4

Substituindo na integral:
L[f(lambda t)] =integral0^inftye^-s(nu/lambda),f(nu),dnulambda =1lambdaintegral0^inftye^-slambda,nu,f(nu),dnu =1lambda,Fl(slambdar)

Passo 5

Assim chegamos exatamente à propriedade desejada.

Resposta

L[f(lambda t)] = 1lambda,Fl(tfracslambdar).

Exercícios relacionados