Calcule o volume do sólido dado por 0 <= z <= raiz9-x^2-y^2 e x^2+y^2 <= 4, com y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está definido por duas condições: uma que envolve a função z = raiz9 - x^2 - y^2 e outra que limita x^2 + y^2 <= 4 com y >= 0 . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas em coordenadas polares, porque temos simetria circular. Vamos precisar transformar as coordenadas cartesianas para polares para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sólido que estamos calculando. A equação z = raiz9 - x^2 - y^2 representa a parte superior de uma esfera de raio 3 centrada na origem. Já a condição x^2 + y^2 <= 4 com y >= 0 descreve um semicírculo no plano XY com raio 2, pois y >= 0 limita a região ao semicírculo superior.

Passo 3

Para encontrar o volume, vamos usar integrais duplas. Como a região de integração é circular, é mais fácil mudar para coordenadas polares. Lembrando que, em coordenadas polares, temos:
x = r costheta y = r sintheta dA = r , dr , dtheta
Aqui, r é a distância do ponto à origem e theta é o ângulo em relação ao eixo positivo x.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como x^2 + y^2 <= 4 , isso se traduz para r^2 <= 4 , ou seja, r <= 2 . E como y >= 0 , o ângulo theta varia de 0 a pi (180 graus), cobrindo o semicírculo superior.
Então, os limites são:
0 <= r <= 2 0 <= theta <= pi

Passo 5

Agora, expressamos a função z = raiz9 - x^2 - y^2 em coordenadas polares. Substituindo x e y :
z = raiz9 - r^2
O volume V é então dado pela integral dupla:
V = integral0^pi integral0^2 raiz9 - r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a r :
integral0^2 r raiz9 - r^2 , dr
Para resolver isso, fazemos uma substituição:
u = 9 - r^2 du = -2r , dr Rightarrow -12 du = r , dr
Alterando os limites de integração para u :
r = 0 Rightarrow u = 9 r = 2 Rightarrow u = 9 - 4 = 5
Então, a integral fica:
-12 integral9^5 raizu , du = 12 integral5^9 raizu , du
Integrando:
12 cdot ( 23 u^3/2 ) |5^9 = 13 ( 9^3/2 - 5^3/2 ) = 13 ( 27 - 5raiz5 ) = 9 - 53raiz5

Passo 7

Agora, voltamos à integral externa em relação a theta :
V = integral0^pi ( 9 - 53raiz5 ) dtheta = ( 9 - 53raiz5 ) integral0^pi dtheta
Integrando theta de 0 a pi :
( 9 - 53raiz5 ) cdot pi = pi ( 9 - 53raiz5 )

Resposta

O volume do sólido é V = pi (9 - 53raiz5) unidades cúbicas.

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