Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está definido por duas condições: uma que envolve a função e outra que limita com . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas em coordenadas polares, porque temos simetria circular. Vamos precisar transformar as coordenadas cartesianas para polares para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sólido que estamos calculando. A equação representa a parte superior de uma esfera de raio 3 centrada na origem. Já a condição com descreve um semicírculo no plano XY com raio 2, pois limita a região ao semicírculo superior.
Passo 3
Para encontrar o volume, vamos usar integrais duplas. Como a região de integração é circular, é mais fácil mudar para coordenadas polares. Lembrando que, em coordenadas polares, temos:
Aqui, é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo x.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como , isso se traduz para , ou seja, . E como , o ângulo varia de a (180 graus), cobrindo o semicírculo superior.
Então, os limites são:
Passo 5
Agora, expressamos a função em coordenadas polares. Substituindo e :
O volume é então dado pela integral dupla:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Para resolver isso, fazemos uma substituição:
Alterando os limites de integração para :
Então, a integral fica:
Integrando:
Passo 7
Agora, voltamos à integral externa em relação a theta :