As respostas devem estar completamente justificadas.
Encontre a soma da série
. (Dica: use a série de
Encontre a soma da série
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a soma da série infinita
. A matéria envolvida aqui é séries de potências, e pra resolver a gente vai usar a série da função
. Vamos precisar lembrar como essa série é construída e como aplicá-la no nosso caso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a série de Taylor da função
. A série de Taylor de
em torno de 0 é dada por:
Essa série nos permite expressar a função arco-tangente como uma soma infinita de termos que envolvem potências de
.
Passo 3
Agora, vamos adaptar essa série para se aproximar da série que temos no exercício. Observamos que na série do exercício, além do
, temos também um fator de
. Para encaixar isso na série da
, vamos manipular a série de Taylor para ajustar os termos.
Vamos substituir
por
na série da
:
Simplificando o termo
:
Então, a série fica:
Passo 4
Perceba que nossa série no exercício começa em
, enquanto a série que obtivemos começa em
. Vamos ajustar isso subtraindo o primeiro termo da série (quando
):
Passo 5
Sabemos que
é igual a
, porque
. Substituindo isso na expressão:
Simplificando
:
Resposta
A soma da série é
.