As respostas devem estar completamente justificadas.
Encontre a soma da série sumn=1^infty (-1)^n(2 n+1) 3^n. (Dica: use a série de arctan (x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a soma da série infinita sumn=1^infty (-1)^n(2 n+1) 3^n. A matéria envolvida aqui é séries de potências, e pra resolver a gente vai usar a série da função arctan(x). Vamos precisar lembrar como essa série é construída e como aplicá-la no nosso caso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de Taylor da função arctan(x). A série de Taylor de arctan(x) em torno de 0 é dada por:
arctan(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1, para |x| <= 1
Essa série nos permite expressar a função arco-tangente como uma soma infinita de termos que envolvem potências de x.

Passo 3

Agora, vamos adaptar essa série para se aproximar da série que temos no exercício. Observamos que na série do exercício, além do (-1)^n2n+1, temos também um fator de 13^n. Para encaixar isso na série da arctan(x), vamos manipular a série de Taylor para ajustar os termos.
Vamos substituir x por 1raiz3 na série da arctan(x):
arctan(1raiz3) = sumn=0^infty (-1)^n (1raiz3)^2n+12n+1
Simplificando o termo (1raiz3)^2n+1:
(1raiz3)^2n+1 = 13^n cdot raiz3 = 1raiz3 cdot 3^n
Então, a série fica:
arctan(1raiz3) = 1raiz3 sumn=0^infty (-1)^n2n+1 cdot 13^n

Passo 4

Perceba que nossa série no exercício começa em n=1, enquanto a série que obtivemos começa em n=0. Vamos ajustar isso subtraindo o primeiro termo da série (quando n=0):
sumn=1^infty (-1)^n2n+1 cdot 13^n = arctan(1raiz3) cdot raiz3 - 11 cdot 13^0 = arctan(1raiz3) cdot raiz3 - 1

Passo 5

Sabemos que arctan(1raiz3) é igual a pi6, porque tan(pi6) = 1raiz3. Substituindo isso na expressão:
sumn=1^infty (-1)^n2n+1 cdot 13^n = pi6 cdot raiz3 - 1
Simplificando pi6 cdot raiz3:
pi6 cdot raiz3 = pi raiz36

Resposta

A soma da série é pi raiz36 - 1.

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