Vamos encontrar o intervalo de convergência de sumn=1^infty n^3 x^n e sua soma.
Comece com a série sumn=0^infty x^n=11-x,|x|<1, e obtenha a derivada de ambos os lados.

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência e a soma da série
sumn=1^inftyn^3x^n.
Vamos usar como ponto de partida a série geométrica
sumn=0^inftyx^n=11-x, |x|<1
e obter suas derivadas sucessivas para chegar a uma expressão para sum n^3x^n.

Passo 2

Derivando sumn=0^inftyx^n=11-x em relação a x, obtemos
sumn=0^inftyn,x^n-1=ddxl(11-xr)=1(1-x)^2
Multiplicando ambos os lados por x, fica
sumn=0^inftyn,x^n=x(1-x)^2

Passo 3

Derivando agora sumn=0^inftyn,x^n=x(1-x)^2, temos
sumn=0^inftyn^2,x^n-1 =ddxl(x(1-x)^2r) =1+x(1-x)^3
Multiplicando por x, obtemos
sumn=0^inftyn^2,x^n=x,(1+x)(1-x)^3

Passo 4

Derivando uma última vez sumn=0^inftyn^2x^n=x(1+x)(1-x)^3, segue
sumn=0^inftyn^3,x^n-1 =ddxl(x(1+x)(1-x)^3r) =1+4x+x^2(1-x)^4
Multiplicando por x, concluímos
sumn=0^inftyn^3,x^n =x,(1+4x+x^2)(1-x)^4
Como o termo de índice zero é nulo, isso vale também para sumn=1^inftyn^3x^n.

Passo 5

O raio de convergência das séries geométricas e de suas derivadas sucessivas permanece |x|<1. Pelo teste da razão,
limntoinftyl|(n+1)^3x^,n+1n^3x^nr| =limntoinftyl(1+1nr)^3|x| =|x|<1
Nos extremos x=pm1 os termos não tendem a zero, logo diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é -1<x<1 e
sumn=1^inftyn^3x^n =x,(1+4x+x^2)(1-x)^4, |x|<1

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