Vamos encontrar o intervalo de convergência de
e sua soma.
Comece com a série
, e obtenha a derivada de ambos os lados.
Comece com a série
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência e a soma da série
.
Vamos usar como ponto de partida a série geométrica
Vamos usar como ponto de partida a série geométrica
e obter suas derivadas sucessivas para chegar a uma expressão para
.
Passo 2
Derivando
em relação a
, obtemos
Multiplicando ambos os lados por
, fica
Passo 3
Derivando agora
, temos
Multiplicando por
, obtemos
Passo 4
Derivando uma última vez
, segue
Multiplicando por
, concluímos
Como o termo de índice zero é nulo, isso vale também para
.
Passo 5
O raio de convergência das séries geométricas e de suas derivadas sucessivas permanece
. Pelo teste da razão,
Nos extremos
x=pm1 os termos não tendem a zero, logo diverge.
Resposta
O intervalo de convergência é
-1<x<1 e