Derive as seguintes funções:
y=x+1x ln x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa derivar a função y = x + 1x ln x . Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente de derivadas. Para resolver isso, vamos usar a regra do quociente e lembrar de como derivar logaritmos naturais. Vamos com calma passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função para aplicar a regra do quociente. A função está na forma f(x)g(x) , onde:
  • f(x) = x + 1
  • g(x) = x ln x
A regra do quociente diz que a derivada de f(x)g(x) é:
y' = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2

Passo 3

Agora, vamos derivar f(x) e g(x) .
Primeiro, derivando f(x) = x + 1 :
f'(x) = 1
Em seguida, derivando g(x) = x ln x . Aqui usamos a regra do produto, já que é o produto de duas funções:
g'(x) = ddx(x) cdot ln x + x cdot ddx(ln x)
Sabendo que ddx(x) = 1 e ddx(ln x) = 1x , temos:
g'(x) = 1 cdot ln x + x cdot 1x = ln x + 1

Passo 4

Agora que temos f'(x) e g'(x) , vamos substituir na fórmula da regra do quociente:
y' = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2 = 1 cdot x ln x - (x + 1)(ln x + 1)(x ln x)^2

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
1 cdot x ln x - (x + 1)(ln x + 1) = x ln x - [x ln x + x + ln x + 1]
Distribuindo o sinal negativo:
x ln x - x ln x - x - ln x - 1 = -x - ln x - 1
Então, o numerador fica:
- (x + ln x + 1)

Passo 6

Colocando tudo de volta na expressão da derivada:
y' = - (x + ln x + 1) (x ln x)^2
Podemos também escrever esse resultado sem o sinal negativo no numerador:
y' = - x + ln x + 1x^2 (ln x)^2

Resposta

A derivada da função é:
y' = - x + ln x + 1x^2 (ln x)^2

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