• 8-15 Demonstre que B satisfaz a equação vetorial de Laplace: \nabla^{2} B=0 \mathrm{em} um meio homogêneo, isotrópico, não magnético, de condutividade g, em que existem correntes estacionárias.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo magnético \mathbf{B} satisfaz a equação vetorial de Laplace
\nabla^{2}\mathbf{B}=0
num meio homogêneo, isotrópico, não magnético (ou seja, permeabilidade magnética constante \mu) e de condutividade \,g, quando há correntes estacionárias. Vamos usar as equações de Maxwell em regime estacionário e a lei de Ohm no condutor.

Passo 2

Em magnetostática e meio linear isotrópico temos as duas equações relevantes de Maxwell:
\nabla\cdot\mathbf{B}=0
\nabla\times\mathbf{B}=\mu\,\mathbf{J}
além da lei de Ohm local que dá a densidade de corrente elétrica:
\mathbf{J}=g\,\mathbf{E}.

Passo 3

Como as correntes são estacionárias, o campo elétrico é conservativo, ou seja
\nabla\times\mathbf{E}=0.
Aplicando \nabla\times em \mathbf{J}=g\,\mathbf{E} resulta em
\nabla\times\mathbf{J} = g\,\nabla\times\mathbf{E} =0.

Passo 4

Usamos a identidade vetorial
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B}) =\nabla(\nabla\cdot\mathbf{B})-\nabla^{2}\mathbf{B}.
Como \nabla\cdot\mathbf{B}=0, tem-se
\nabla^{2}\mathbf{B} =-\,\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B}) =-\,\nabla\times(\mu\,\mathbf{J}) =-\mu\,(\nabla\times\mathbf{J}) =0.

Resposta

\nabla^{2}\mathbf{B}=0.

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