Determine os vetores velocidade v(t) e posição r(t) de uma partícula sabendo que seu vetor aceleração é dado por a(t)=\left(2,6 t, 12 t^{2}\right), v(0)=(1,0,0) e r(0)=(0,1,-1).

Passo 1

O enunciado dá o vetor aceleração
a(t) = (2,\;6t,\;12t^2)
e as condições iniciais
v(0) = (1,0,0),\qquad r(0) = (0,1,-1).
O conteúdo é cálculo de integrais de vetores: primeiro integramos a(t) para obter v(t) e depois integramos v(t) para obter r(t), aplicando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Como v'(t)=a(t), integramos componente a componente:
v(t)=\int a(t)\,\mathrm{d}t =\int (2,\;6t,\;12t^2)\,\mathrm{d}t =(2t+C_1,\;3t^2+C_2,\;4t^3+C_3),
onde C_1,C_2,C_3 são constantes a determinar.

Passo 3

Usamos v(0)=(1,0,0):
v(0)=(C_1,\;C_2,\;C_3)=(1,0,0)
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C_1=1,\quad C_2=0,\quad C_3=0,
e portanto
v(t)=(2t+1,\;3t^2,\;4t^3).

Passo 4

Agora integramos v(t) para obter r(t), pois r'(t)=v(t):
r(t)=\int v(t)\,\mathrm{d}t =\int (2t+1,\;3t^2,\;4t^3)\,\mathrm{d}t =(t^2+t+D_1,\;t^3+D_2,\;t^4+D_3),
onde D_1,D_2,D_3 são constantes a determinar.

Passo 5

Usamos r(0)=(0,1,-1):
r(0)=(D_1,\;D_2,\;D_3)=(0,1,-1)
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D_1=0,\quad D_2=1,\quad D_3=-1,
e assim
r(t)=(t^2+t,\;t^3+1,\;t^4-1).

Resposta

v(t) = (2t +1, 3 t^{2}, 4 t^{3})
r(t) = ( t^{2} + t, t^{3} +1, t^{4} - 1)

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