Sendo c_{1}, c_{2}: I \rightarrow \mathbb{R}^{n} deriváveis, mostre que \left(c_{1}(t) \cdot c_{2}(t)\right)^{\prime}=c_{1}^{\prime}(t) \cdot c_{2}(t)+c_{1}(t) \cdot c_{2}^{\prime}(t)

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções vetoriais \,c_{1},c_{2}:I\to\mathbb{R}^{n}, deriváveis em t. Precisamos mostrar a regra do produto para o escalar, ou seja,
\bigl(c_{1}(t)\cdot c_{2}(t)\bigr)' \;=\; c_{1}'(t)\cdot c_{2}(t)\;+\;c_{1}(t)\cdot c_{2}'(t).
Para isso, usaremos a definição do produto escalar em coordenadas e a regra do produto de funções escalares.

Passo 2

Pela definição do produto escalar em \mathbb{R}^{n}, escrevemos
c_{1}(t)\cdot c_{2}(t) =\sum_{i=1}^{n}c_{1i}(t)\,c_{2i}(t),
onde c_{1i}(t) e c_{2i}(t) são as componentes escalares de c_{1} e c_{2}.

Passo 3

Como a derivada de uma soma é a soma das derivadas, temos
\bigl(c_{1}(t)\cdot c_{2}(t)\bigr)' =\frac{d}{dt}\Bigl(\sum_{i=1}^{n}c_{1i}(t)\,c_{2i}(t)\Bigr) =\sum_{i=1}^{n}\frac{d}{dt}\bigl(c_{1i}(t)\,c_{2i}(t)\bigr).

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto para cada termo escalar c_{1i}(t)\,c_{2i}(t):
\frac{d}{dt}\bigl(c_{1i}(t)\,c_{2i}(t)\bigr) = c_{1i}'(t)\,c_{2i}(t) \;+\; c_{1i}(t)\,c_{2i}'(t).

Passo 5

Substituindo esse resultado na soma, fica
\sum_{i=1}^{n}\bigl(c_{1i}'(t)\,c_{2i}(t)+c_{1i}(t)\,c_{2i}'(t)\bigr) =\sum_{i=1}^{n}c_{1i}'(t)\,c_{2i}(t) \;+\;\sum_{i=1}^{n}c_{1i}(t)\,c_{2i}'(t).

Passo 6

Reconhecemos cada soma como um produto escalar de vetores derivados ou originais:
\sum_{i=1}^{n}c_{1i}'(t)\,c_{2i}(t) = c_{1}'(t)\cdot c_{2}(t), \qquad \sum_{i=1}^{n}c_{1i}(t)\,c_{2i}'(t) = c_{1}(t)\cdot c_{2}'(t).
Logo
\bigl(c_{1}(t)\cdot c_{2}(t)\bigr)' = c_{1}'(t)\cdot c_{2}(t) + c_{1}(t)\cdot c_{2}'(t).

Resposta

\bigl(c_{1}(t)\cdot c_{2}(t)\bigr)' = c_{1}'(t)\cdot c_{2}(t) + c_{1}(t)\cdot c_{2}'(t).

Exercícios relacionados