Sendo
deriváveis, mostre que
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções vetoriais
, deriváveis em
. Precisamos mostrar a regra do produto para o escalar, ou seja,
Para isso, usaremos a definição do produto escalar em coordenadas e a regra do produto de funções escalares.
Passo 2
Pela definição do produto escalar em
, escrevemos
onde
e
são as componentes escalares de
e
.
Passo 3
Como a derivada de uma soma é a soma das derivadas, temos
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto para cada termo escalar
:
Passo 5
Substituindo esse resultado na soma, fica
Passo 6
Reconhecemos cada soma como um produto escalar de vetores derivados ou originais:
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