In the next three exercises, interpret x=\sin x as a flow on the line.
2.1.3
a) Find the flow’s acceleration \ddot{x} as a function of x.
b) Find the points where the flow has maximum positive acceleration.

Passo 1

O enunciado nos dá o fluxo unidimensional \dot x = \sin x e pede (a) a aceleração \ddot x como função de x e (b) os pontos onde essa aceleração é máxima e positiva. Vamos usar cálculo de derivadas e otimização de funções de x.

Passo 2

Para obter a aceleração definimos \ddot x = \frac{d}{dt}(\dot x). Usando a regra da cadeia,
\ddot x = \frac{d}{dt}\bigl(\sin x\bigr) = \cos x \,\frac{dx}{dt} = \cos x \,\sin x.

Passo 3

Podemos escrever essa expressão em função do ângulo duplo:
\ddot x = \sin x\cos x = \tfrac12\,\sin(2x).

Passo 4

Para encontrar o máximo de \ddot x = \tfrac12\sin(2x) basta notar que \sin(2x) atinge 1. Logo o valor máximo é \tfrac12 e ocorre quando
2x = \tfrac{\pi}{2} + 2\pi k \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{\pi}{4} + \pi k, \quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

a) \displaystyle \ddot x = \sin x\cos x = \tfrac12\sin(2x).
b) A aceleração máxima é \tfrac12 e ocorre em
x = \tfrac{\pi}{4} + \pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.

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