15 Determinar o valor n para que seja de 30 graus o ângulo entre as retas
r1:l x=2+4 t y=5 t z=3 t e r2:l y=n x+5 z=2 x-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nessa questão é encontrar o valor de n que faz com que o ângulo entre as retas r1 e r2 seja de 30 graus. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica espacial, especificamente sobre o ângulo entre duas retas usando os vetores diretores delas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das duas retas. A reta [r_1) está dada pelas equações paramétricas:
Aqui, o vetor diretor de .
Já a reta está descrita por:
Para facilitar, vamos parametrizar a reta como parâmetro, então:
Dessa forma, o vetor diretor de .

Passo 3

Agora, para encontrar o ângulo entre as duas retas, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos(theta) = v1 cdot v2|v1| cdot |v2|
Onde:
  • v1 cdot v2 é o produto escalar dos vetores.
  • |v1| e |v2| são as magnitudes (ou normas) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar v1 cdot v2 :
v1 cdot v2 = (4)(1) + (5)(n) + (3)(2) = 4 + 5n + 6 = 10 + 5n
Agora, as magnitudes:
|v1| = raiz4^2 + 5^2 + 3^2 = raiz16 + 25 + 9 = raiz50
|v2| = raiz1^2 + n^2 + 2^2 = raiz1 + n^2 + 4 = raizn^2 + 5

Passo 5

Sabemos que o ângulo theta entre as retas deve ser de 30 graus. Então,
cos(30^circ) = raiz32
Substituindo na fórmula:
10 + 5nraiz50 cdot raizn^2 + 5 = raiz32

Passo 6

Vamos resolver essa equação para n . Primeiro, simplificamos:
10 + 5n = raiz50 cdot raizn^2 + 5 cdot raiz32
Sabendo que raiz50 = 5raiz2 , fica:
10 + 5n = 5raiz2 cdot raizn^2 + 5 cdot raiz32
Dividindo ambos os lados por 5:
2 + n = raiz62 cdot raizn^2 + 5
Multiplicando ambos os lados por 2:
4 + 2n = raiz6 cdot raizn^2 + 5

Passo 7

Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(4 + 2n)^2 = 6(n^2 + 5)
Expandindo o lado esquerdo:
16 + 16n + 4n^2 = 6n^2 + 30
Reorganizando os termos:
-2n^2 + 16n - 14 = 0
Multiplicando por -1:
2n^2 - 16n + 14 = 0
Dividindo por 2:
n^2 - 8n + 7 = 0

Passo 8

Agora, resolvemos a equação quadrática:
n = 8 pm raiz64 - 282 = 8 pm raiz362 = 8 pm 62
Então, temos duas soluções:
n = 8 + 62 = 7 ou n = 8 - 62 = 1

Resposta

Os valores de n que fazem o ângulo entre as retas ser de 30 graus são n = 1 e n = 7 .

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