17 Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A=(3,2,-1) e é simultaneamente ortogonal às retas r1:lx=3 y=-1 e r2:ly=x-3 z=-2 x+3.

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta que passa por A=(3,2,-1) e é ortogonal simultaneamente a duas retas. Para uma reta, precisamos de um ponto (já dado) e de um vetor direção. Como a reta procurada é ortogonal a cada uma das retas dadas, seu vetor direção deve satisfazer produto escalar zero com os vetores direção dessas retas.

Passo 2

Identificamos o vetor direção de
tem constantes e livre. Logo, um vetor direção é

Passo 3

Identificamos o vetor direção de
pode ser parametrizada por , . O vetor direção é

Passo 4

Seja v=(a,b,c) o vetor direção da reta buscada. Como ela é ortogonal a r1 e a r2, temos
vcdot d1=0 e vcdot d2=0

Passo 5

Escrevendo os produtos escalares:
vcdot d1=acdot0 + bcdot0 + ccdot1 = c = 0,
vcdot d2=acdot1 + bcdot1 + ccdot(-2) = a + b - 2c = a + b = 0
Portanto c=0 e b=-a. Podemos escolher a=1, dando
v=(1,-1,0)

Passo 6

Agora que temos um ponto
onde (t\in\mathbb{R}].

Resposta

boxed x=3+t, y=2-t, z=-1

Exercícios relacionados