15- Determine o campo elétrico produzido por um plano infinito fino com uma densidade superficial de carga uniforme positiva
Passo 1
O enunciado pede o campo elétrico produzido por um plano infinito e fino, com densidade superficial de carga uniforme positiva
. Como o plano é infinito, o campo elétrico resultante só depende da distância normal e mantém simetria de transladação e rotação em torno do eixo perpendicular ao plano. Vamos usar a Lei de Gauss para superfícies com alta simetria.
Passo 2
Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro de raio arbitrário
e área de base
, cujo eixo é perpendicular ao plano, de modo que o plano corta o cilindro ao meio. Esse cilindro tem duas faces planas, cada uma de área
, uma de cada lado do plano.
Devido à simetria planar, o vetor campo é perpendicular ao plano e de mesmo módulo em todos os pontos equidistantes do plano. Assim, o fluxo de
pelas faces laterais do cilindro é zero e o fluxo total é a soma dos fluxos pelas duas bases:
Devido à simetria planar, o vetor campo
Passo 3
A carga envolvida
pelo cilindro é a densidade superficial vezes a área do plano contido na base:
Pela Lei de Gauss temos
Igualando as expressões de
:
Passo 4
Substituindo
e
:
Resposta
O campo elétrico tem módulo
e aponta perpendicular ao plano, para fora dele, em ambos os lados.