[15] Determine o comprimento da espiral logarítmica r=e^theta / 2 de theta=0 a theta=2.

Passo 1

Nesse problema, queremos o comprimento da espiral logarítmica definida por r = e^{θ/2} para θ variando de 0 a 2. O conteúdo é comprimento de arco em coordenadas polares e vamos usar a fórmula abaixo para curvas em polares:
L = integrala^b raizr^2 + l(drdthetar)^2, dtheta

Passo 2

Primeiro, calculo a derivada dr/dθ para depois montar o integrando. Como r = e^{θ/2}, temos:
drdtheta = 12 e^theta/2

Passo 3

Agora monto o integrando: substituo r e dr/dθ em raizr^2 + (dr/dθ)^2:
raizr^2 + l(drdthetar)^2 = raize^theta + e^theta4 = e^theta/2raiz1 + 14 = raiz52e^theta/2

Passo 4

Com o integrando pronto, calculo o comprimento:
L = integral0^2 raiz52 e^theta/2 , dtheta
Para integrar, uso integral e^theta/2 dtheta = 2e^theta/2. Assim,
L = raiz52 cdot 2l(e^1 - e^0r) = raiz5(e - 1)

Resposta

raiz5(e - 1)

Exercícios relacionados