[15] Determine o comprimento da espiral logarítmica
de
a
.
Passo 1
Nesse problema, queremos o comprimento da espiral logarítmica definida por r = e^{θ/2} para θ variando de 0 a 2. O conteúdo é comprimento de arco em coordenadas polares e vamos usar a fórmula abaixo para curvas em polares:
Passo 2
Primeiro, calculo a derivada dr/dθ para depois montar o integrando. Como r = e^{θ/2}, temos:
Passo 3
Agora monto o integrando: substituo r e dr/dθ em
:
Passo 4
Com o integrando pronto, calculo o comprimento:
Para integrar, uso
. Assim,