Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a integral imprópria
para
: saber para quais
ela converge (condicionalmente e absolutamente) e, na medida do possível, dar seu valor.
Passo 2
Para a convergência (não-absoluta) usamos o teste de Dirichlet. Note que
tem primitiva
que é limitada para todo
, e
é monótona decrescente com
quando
se
. Pelo teste de Dirichlet,
converge para todo
.
Passo 3
Para calcular o valor não existe primitiva elementar em termos de funções elementares quando
. A gente usa funções especiais: definindo a função Gama incompleta
, obtém-se via análise complexa que
Passo 4
No caso especial
surge a integral do seno
. Logo
$$\n\int_{1}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\lim_{A\to\infty}\bigl(\mathrm{Si}(A)-\mathrm{Si}(1)\bigr)=\frac{\pi}{2}-\mathrm{Si}(1).
$$
Passo 5
Para a convergência absoluta, examinamos
$$\n\int_{1}^{\infty}\biggl|\frac{\sin x}{x{\alpha}}\biggr|dx\le\int_{1}{\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}dx.
$$
Passo 6
Sabemos que
converge se e só se
. Logo a nossa integral é absolutamente convergente apenas para
, e quando
ela converge só condicionalmente.
Resposta
A integral
converge condicionalmente para todo
(pelo teste de Dirichlet) e converge absolutamente somente se
. No caso
temos
, e para
a integral se expressa por
.