Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral1^infty sen xx^alpha d x, alpha>0

Passo 1

O enunciado pede para estudar a integral imprópria integral1^inftysin xx^alpha,dx para alpha>0: saber para quais alpha ela converge (condicionalmente e absolutamente) e, na medida do possível, dar seu valor.

Passo 2

Para a convergência (não-absoluta) usamos o teste de Dirichlet. Note que f(x)=sin x tem primitiva F(x)=-cos x que é limitada para todo x, e g(x)=x^-alpha é monótona decrescente com g(x)to0 quando xtoinfty se alpha>0. Pelo teste de Dirichlet, integral1^inftysin x,x^-alphadx converge para todo alpha>0.

Passo 3

Para calcular o valor não existe primitiva elementar em termos de funções elementares quando alphaneq1. A gente usa funções especiais: definindo a função Gama incompleta Gamma(s,z)=integralz^inftyt^s-1e^-tdt, obtém-se via análise complexa que

Passo 4

No caso especial alpha=1 surge a integral do seno Si(x)=integral0^xsin ttdt. Logo
$$\n\int_{1}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\lim_{A\to\infty}\bigl(\mathrm{Si}(A)-\mathrm{Si}(1)\bigr)=\frac{\pi}{2}-\mathrm{Si}(1).
$$

Passo 5

Para a convergência absoluta, examinamos
$$\n\int_{1}^{\infty}\biggl|\frac{\sin x}{x{\alpha}}\biggr|dx\le\int_{1}{\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}dx.
$$

Passo 6

Sabemos que integral1^inftyx^-alphadx converge se e só se alpha>1. Logo a nossa integral é absolutamente convergente apenas para alpha>1, e quando 0 ela converge só condicionalmente.

Resposta

A integral integral1^inftysin xx^alphadx converge condicionalmente para todo alpha>0 (pelo teste de Dirichlet) e converge absolutamente somente se alpha>1. No caso alpha=1 temos integral1^inftysin xxdx=tfracpi2-Si(1), e para alphaneq1 a integral se expressa por Iml(i^alpha-1Gamma(1-alpha,i)r).

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