Considere a função y=f(x) definida implicitamente por
3 x^2-2 y^2=1
O valor de f^prime(x) no ponto (1,-1) é:
a) -3 / 2
b) -1 / 2
c) 0
d) 1 / 2
e) 3 / 2

Passo 1

Temos a função definida implicitamente por
3x^2 - 2y^2 = 1
O que queremos é f'(x)=tfracdydx no ponto (1,-1). Para isso, vamos usar derivação implícita, que aplica a regra da cadeia quando derivamos y em relação a x.

Passo 2

Derivando ambos os lados da equação em relação a x, temos:
ddx(3x^2) - ddx(2y^2) = ddx(1)
Aplicando as regras de derivação:
6x - 4ydydx = 0

Passo 3

Agora isolamos dydx. Da equação
6x - 4ydydx = 0
segue
4ydydx = 6x
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dydx = 6x4y = 3x2y

Passo 4

Finalmente, substituímos o ponto (x,y)=(1,-1) em
dydx = 3x2y
obtendo
dydx|(1,-1) = 3cdot12cdot(-1) = -tfrac32

Resposta

-3/2

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