15 Determine os subespaços invariantes por ll2 & -4 5 & -2 encarado com um operador linear em (i) R^2, (ii) C^2.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os subespaços invariantes pelo operador linear dado pela matriz
A=2 & -45 & -2
quando encarado (i) como endomorfismo de R^2 e (ii) como endomorfismo de C^2. Vamos usar a teoria de subespaços invariantes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro calculamos o polinômio característico para encontrar os autovalores. Temos
det(A-lambda I)=(2-lambda)(-2-lambda)-(-4)cdot5=lambda^2+16=0,
de onde os autovalores são lambda=pm4i.

Passo 3

No caso (i) em R^2, o polinômio lambda^2+16=0 não tem raízes reais, logo não existem autovetores reais e, portanto, nenhum subespaço de dimensão 1 permanece invariante. Assim, os únicos subespaços invariantes são os triviais: 0 e R^2.

Passo 4

No caso (ii) em C^2, o polinômio fatora em raízes simples pm4i, o que garante duas linhas próprias (autovetores linearesmente independentes). Para lambda=4i a equação (A-4iI)v=0 leva a
(2-4i)x-4y=0
que dá, por exemplo, escolhendo x=2, o vetor próprio
v1=21-2i
De modo análogo, para lambda=-4i obtemos
v2=21+2i
Essas duas retas em C^2 são invariantes.

Passo 5

Portanto, em C^2, além dos subespaços triviais, existem exatamente as duas retas próprias geradas pelos vetores v1 e v2, correspondentes a 4i e -4i.

Resposta

Em R^2: apenas os subespaços triviais
0 e R^2.
Em C^2: os subespaços triviais
0, C^2 e as retas próprias
span C(2,,1-2i) e
span C(2,,1+2i).

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