15 Determine os subespaços invariantes por
encarado com um operador linear em (i)
, (ii)
.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os subespaços invariantes pelo operador linear dado pela matriz
quando encarado (i) como endomorfismo de
e (ii) como endomorfismo de
. Vamos usar a teoria de subespaços invariantes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro calculamos o polinômio característico para encontrar os autovalores. Temos
de onde os autovalores são
.
Passo 3
No caso (i) em
, o polinômio
não tem raízes reais, logo não existem autovetores reais e, portanto, nenhum subespaço de dimensão 1 permanece invariante. Assim, os únicos subespaços invariantes são os triviais:
e
.
Passo 4
No caso (ii) em
, o polinômio fatora em raízes simples
, o que garante duas linhas próprias (autovetores linearesmente independentes). Para
a equação
leva a
que dá, por exemplo, escolhendo
, o vetor próprio
De modo análogo, para
obtemos
Essas duas retas em
são invariantes.
Passo 5
Portanto, em
, além dos subespaços triviais, existem exatamente as duas retas próprias geradas pelos vetores
e
, correspondentes a
e
.
Resposta
Em
: apenas os subespaços triviais
e
.
Em
: os subespaços triviais
,
e as retas próprias
e
.