Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo:
() primitiva de

Passo 1

Estamos lidando com o operador de integração que manda cada polinômio em sua primitiva que zera em x=0. Mais precisamente, no espaço mathscr Pn( R) (polinômios de grau ≤ n), definimos
T:mathscr Pn( R)tomathscr Pn+1( R), T(p)(x)=integral0^x p(t),dt
Para resolver, vamos usar o fato de que a integral indefinida de um polinômio de grau k é um polinômio de grau k+1 com coeficiente constante ajustado para zerar em x=0.

Passo 2

Para achar o núcleo, basta ver quais p satisfazem T(p)=0 (isto é, sua primitiva é o polinômio identicamente zero). Se T(p)(x)=0 para todo x, então a derivada dessa primitiva, que é p(x), também deve ser zero. Logo
portanto ker(T)=pinmathscr Pn( R):p(x)=0n= 0, e a base é o conjunto vazio.

Passo 3

Para a imagem, observe que aplicando T nos monômios da base canônica de mathscr Pn:
T(x^k)=integral0^x t^k,dt=x^k+1k+1, k=0,1,dots,n
Isso mostra que
evidenciando que Im(T)=Spanlx^11,x^22,dots,x^n+1n+1r .

Passo 4

Como conjunto gerador podemos usar diretamente as imagens dos monômios, portanto uma base para a imagem é
lT(1)=x,;T(x)=tfracx^22,;dots,;T(x^n)=tfracx^n+1n+1r

Resposta

ker(T)=0 com dimensão zero e base vazia.
Im(T)=qinmathscr Pn+1( R):q(0)=0 com dimensão n+1 e, por exemplo, base x,,x^2/2,,dots,,x^n+1/(n+1).

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