Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo:
() primitiva de
Passo 1
Estamos lidando com o operador de integração que manda cada polinômio em sua primitiva que zera em x=0. Mais precisamente, no espaço
(polinômios de grau ≤
), definimos
Para resolver, vamos usar o fato de que a integral indefinida de um polinômio de grau
é um polinômio de grau
com coeficiente constante ajustado para zerar em x=0.
Passo 2
Para achar o núcleo, basta ver quais
satisfazem
(isto é, sua primitiva é o polinômio identicamente zero). Se
para todo
, então a derivada dessa primitiva, que é
, também deve ser zero. Logo
portanto
e a base é o conjunto vazio.
Passo 3
Para a imagem, observe que aplicando
nos monômios da base canônica de
:
Isso mostra que
evidenciando que
.
Passo 4
Como conjunto gerador podemos usar diretamente as imagens dos monômios, portanto uma base para a imagem é