16 Suponha que
e
são operadores nilpotentes que comutam, isto é,
. Mostre que
e
também são nilpotentes.
Passo 1
Temos operadores
e
nilpotentes, ou seja, existem inteiros positivos
e
tais que
e
, e ainda
. O objetivo é mostrar que
e
também são nilpotentes, usando a definição de nilpotência, a comutatividade e a expansão binomial.
Passo 2
Para
: como
, vale por indução que
para todo inteiro
. Escolhendo
, temos
pois
e
. Logo
é nilpotente.
Passo 3
Para
: pela fórmula do binômio de Newton e usando
,
Tomando
, em cada termo da soma ou
(então
) ou
(então
). Assim cada parcela é zero, e portanto
Logo
é nilpotente.
Passo 4
Concluímos que, sob a hipótese de
e
serem nilpotentes e comutarem, tanto
quanto
são nilpotentes.
Resposta
Ambos
e
são nilpotentes.