16 Suponha que S e T são operadores nilpotentes que comutam, isto é, S T=T S. Mostre que S+T e S T também são nilpotentes.

Passo 1

Temos operadores S e T nilpotentes, ou seja, existem inteiros positivos n e m tais que S^n=0 e T^m=0, e ainda ST=TS. O objetivo é mostrar que ST e S+T também são nilpotentes, usando a definição de nilpotência, a comutatividade e a expansão binomial.

Passo 2

Para ST: como ST=TS, vale por indução que
(ST)^k = S^k T^k
para todo inteiro k. Escolhendo k=n+m-1, temos
(ST)^n+m-1 = S^n+m-1T^n+m-1 = (S^n)(S^m-1)(T^n-1)(T^m) = 0,
pois S^n=0 e T^m=0. Logo ST é nilpotente.

Passo 3

Para S+T: pela fórmula do binômio de Newton e usando ST=TS,
(S+T)^N = sumi=0^N binomNi S^i T^N-i
Tomando N=n+m-1, em cada termo da soma ou i>= n (então S^i=0) ou N-i>= m (então T^N-i=0). Assim cada parcela é zero, e portanto
(S+T)^n+m-1=0
Logo S+T é nilpotente.

Passo 4

Concluímos que, sob a hipótese de S e T serem nilpotentes e comutarem, tanto ST quanto S+T são nilpotentes.

Resposta

Ambos ST e S+T são nilpotentes.

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