1.8.15 Uma distribuição de correntes elétricas cria um momento magnético constante \mathbf{m}= const. A força sobre \mathbf{m} em uma indução magnética externa \mathbf{B} é dada por
\mathbf{F}=\boldsymbol{\nabla} \times(\mathbf{B} \times \mathbf{m}) .
Mostre que
\mathbf{F}=(\mathbf{m} \cdot \nabla) \mathbf{B} .
Nota: Admitindo nenhuma dependência temporal dos campos, as equações de Maxwell resultam \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=0. Também \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}=0.

Passo 1

O enunciado dá uma força sobre um momento magnético constante \mathbf{m} imerso em um campo \mathbf{B} via
\mathbf{F} = \nabla \times (\mathbf{B} \times \mathbf{m})
e pede para mostrar que
\mathbf{F} = (\mathbf{m} \cdot \nabla)\,\mathbf{B}
sabendo que, sem dependência temporal, as equações de Maxwell dão \nabla \times \mathbf{B} = 0 e \nabla \cdot \mathbf{B} = 0.
O conteúdo que vamos usar é a identidade vetorial para o rotacional de um produto vetorial.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\nabla \times (\mathbf{B} \times \mathbf{m}) = (\mathbf{m} \cdot \nabla)\,\mathbf{B} - (\mathbf{B} \cdot \nabla)\,\mathbf{m} + \mathbf{B}\,(\nabla \cdot \mathbf{m}) - \mathbf{m}\,(\nabla \cdot \mathbf{B})\,.

Passo 3

Como \mathbf{m} é constante, temos \nabla \mathbf{m} = \mathbf{0} e \nabla \cdot \mathbf{m} = 0,
além de, pelas equações de Maxwell estáticas, \nabla \cdot \mathbf{B} = 0.
Logo os três últimos termos da identidade se anulam.

Passo 4

Fica então
\nabla \times (\mathbf{B} \times \mathbf{m}) = (\mathbf{m} \cdot \nabla)\,\mathbf{B}\,,
que é exatamente o que se queria demonstrar.

Resposta

\mathbf{F} = (\mathbf{m} \cdot \nabla)\,\mathbf{B}\,.

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